Raumkurven und Flächen.

561

x = az + u-, y = bz -f- ß.

Holl diese Gerade einer gegebenen Richtung parallel sein, so müssena und b konstant sein, dagegen sind u und ß beliebig. Sie habenaber beide für alle Punkte einer bestimmten Geraden konstanteWerte, und ändern beide zugleich ihre Werte, wenn man zu eineranderen Geraden übergeht. Und nun kommt wieder der einfacheSchluß 1 ): Ces deux quantites sont donc constantes ensemble etvariables ensemble, donc eiles sont fonctions l’une de Pautre. Manhat also ß = qr i «), und damit (y — bz) = <f (x — az) als allgemeineGleichung der Zylinderflächen. Monge bemerkt hier ausdrücklich,daß (p nicht notwendig eine analytisch ausdrückbare Funktion zusein brauche, da sie ja von der ganz willkürlichen Leitlinie abhängt,die auch unstetig (non soumis ä la loi de continuite) sein könne 2 ).Es folgt die Lösung der beiden Aufgaben, eine Zylinderfläche zufinden, 1) die durch eine gegebene Raumkurve geht, und 2) die einegegebene Fläche berührt. In ganz analoger Weise werden in Nr. 5die Kegelflächen und die Rotationsflächen untersucht. Bei ersterenwird auch die Aufgabe gelöst, die Fläche zu finden, die den geo-metrischen Ort der Berührkurven aller Tangentialkegel bildet, die manvon einem festen Punkt als Spitze an alle Flächen einer einfach un-endlichen Schar legen kann. Bei letzteren wird die Rotationsflächebestimmt, die bei Umdrehung einer gegebenen Fläche um eine mitihr fest verbundene Achse als Enveloppe sämtlicher Lagen der ge-dachten Fläche entsteht. Ebenso werden (Nr. 6) die Flächen behan-delt, die durch Bewegung einer Geraden entstehen, welche stetsparallel einer gegebenen Ebene bleibt, und dabei eine feste, auf dieserEbene senkrechte Gerade schneidet, also die senkrechten Konoidflächenim heutigen Sprachgebrauch. Monge macht hier auch auf das Vor-kommen solcher Flächen in der Technik [z. B. windschiefe Schrauben-fläche) aufmerksam. Von besonderem Interesse ist Nr. 7 und 8, wovon der Enveloppe einer Flächeuschar die Rede ist. Monge führthier den in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen sowichtig gewordenen Begriff der Charakteristik ein. Die wesent-lichen Punkte seiner Überlegungen sind folgende: Enthält die Gleichungeiner Fläche F{x, y, z, u, j J) = 0 zwei variable Parameter, a und ß,die durch eine Gleichung ß = cp («) verbunden sind, so erhält mandurch Variation von a eine einfach unendliche Flächenschar. Diesebesitzt eine Enveloppe, deren Gestalt natürlich von der Funktion <pabhängt. Alle diese Enveloppen nun, die durch Abänderung der

*) Vgl. S. 536.

*) Vgl- Fußnote ’) S. 553.