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Abschnitt XXIV.

Funktion cp entstehen, haben, wie Monge sich ausdrückt, un caracteregeneral, une propriete commune, une meme generation, unabhängigvon der Natur der Funktion cp- dieser gemeinsame Charakter kanndurch eine partielle Differentialgleichung ausgedrückt werden,der sämtliche Flächen dieser Art genügen, und die von cp ganz frei ist,während die endliche Gleichung natürlich eine willkürliche Funktionenthält. Hier spielt nun eine wichtige Rolle die Charakteristik;Monge versteht darunter die Schnittkurve zweier Flächen, deren Para-meter nur um eine unendlich kleine Größe sich unterscheiden, d. h. die

dF

Schnittkurve der Flächen F = 0 und . - = 0. Die Enveloppe ist der

geometrische Ort der Charakteristiken und ergibt sich durch Elimi-nation von a aus diesen beiden Gleichungen. Ebenfalls wichtig istder Ort der Schnittpunkte dreier konsekutiven Flächen einerSchar; d. h. die Kurve, die definiert ist durch die drei Gleichungen

F= 0;

cF

du

= 0 ;

d'-F

Gcc*

- o.

Diese Kurve wird von sämtlichen Charakteristiken berührt, ist alsodie Enveloppe derselben; Monge nennt sie arete de rebroussement.Diese Überlegungen werden durch ein geeignetes Beispiel illustriert,nämlich durch die Kanalflächen mit ebener (in der xy-Ebene liegender)Leitkurve. Als Differentialgleichung derselben 1 ) ergibt sich

**(1 -P;> ä + q 2 ) = a s .

Die Charakteristiken sind Kreise, deren Mittelpunkte auf der Leit-kurve liegen und deren Ebenen normal zu derselben sind. AisDifferentialgleichung der Charakteristiken ergibt sich:

pdy — qdx — 0,

und als Differentialgleichung der Rückkehrkanten (aretes de rebrousse-ment):

z i {dx* + dy 2 + dz* i = a 3 (dx s + dy 3 ).

Daran schließt sich die Lösung einiger Aufgaben über Kaualflächen,z. B. eine solche Fläche derart zu bestimmen, daß sie durch eine gegebeneRaumkurve geht, oder eine gegebene Fläche längs einer Kurve be-rührt. Im folgenden Blatt (Nr. 9) behandelt Monge in derselbenArt die Flächen, für welche die Linien größten Gefälls Geraden mitkonstanter Horizontalneigung sind. Er zeigt, daß sie als Enveloppeneiner Schar von Kreiskegeln angesehen werden können, deren Achsen

l ) Sie ist schon von Euler is. S. 552f.) angegeben worden.