Raumkurven und Flächen.

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tion geben; die Zwischenräume würden Licht- und Luftöffnungen dar-stellen. Ob dieser Vorschlag jemals praktisch ausgeführt worden ist,ist mir nicht bekannt. — Als Anwendung der hier entwickeltenTheorie der Krümmungslinien betrachtet Monge folgende Beispiele:1. Die Flächen, für welche die eine Schar von Krümmungslinien vonebenen Kurven gebildet wird, deren Ebenen alle parallel sind(Nr. 21—23). Es sind die schon von Euler in anderem Zusammen-hang 1 ) gefundenen Gesimsflächen; Monge gibt noch verschiedene Er-zeugungsweisen dieser Flächen an; 2. die Flächen, für welche dereine Krümmungsradius konstant ist (Nr. 24 und 25). Hier er-geben sich die Köhrenflächen mit einer beliebigen Raumkurve alsLeitkurve; der spezielle Fall, daß diese eine ebene Kurve ist, ist jaschon in Nr. 8 erledigt worden. 3. Die Flächen, für welche dieKrümmungsradien gleich und gleichgerichtet sind (Nr. 26).Als einzige Fläche ergibt sich die Kugel, scheinbar allerdings nocheine Fläche, die folgendermaßen entsteht: Es sei eine Raumkurve undeine ihrer Evolventen gegeben; beschreibt man dann um jeden Punktder Kurve eine Kugel, deren Radius gleich dem Stück der Tangentezwischen Kurve und Evolvente ist, so hat die Enveloppe aller dieserKugeln die verlangte Eigenschaft. Diese Enveloppe reduziert sich aberbei genauerem Zusehen auf die Evolvente selbst, indem jede Kugelvon der nachfolgenden nicht geschnitten, sondern einschließend be-rührt wird. Die Enveloppe ist dann der Ort dieser Berührpunkte,d. h. eben die Evolvente. 4. Das Beispiel, das die wichtigsten Ergeb-nisse liefert, nämlich die Flächen, für welche die Krümmungsradiengleich und entgegengesetzt gerichtet sind ^Nr. 27 und 28).Die Bedingung hierfür ist nach den früheren Untersuchungen 2 ) h = 0,d. h.

(1 + q 2 )r — 2pqs + (1 +i> 2 )7 = 0, (1)

d. h. dieselbe Gleichung, die der „citoyen Lagrange“ für die Minimal-flächen gefunden hat. 8 ) Meusnier wird nicht erwähnt; da seineArbeit erst 1785 gedruckt wurde, hat Monge sie vermutlich nochnicht gekannt.

Er stellt nun zunächst nach der früher (S. 564) angegebenenMethode die Differentialgleichung der Charakteristiken auf und findet:

(1 4- q 3 )dy i + 2pqdxdy + (1 + i) i )dx 2 = 0. (2)

Nimmt man dazu die beiden Gleichungen:

dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdyund die Differentialgleichung der Fläche, so können r. t und ^ eli-

o n 7 7 (l X

*) Siehe S. 553.

*) Siehe S. 567.

s ) Siehe S. 550.