Raumkurven und Flächen.

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* = _ct>'(«)+ ¥'(/*);

y _-0(«) + «<D'(«) + 'K(/J)-/3M''(/J); . (0)

* = ij + «’rfa + ij (ß) yTi^ß*dß

Eine geometrische Darstellung dieser Flächen vermag Mongejedoch nur in der Weise zu geben, daß er sie Element für Elementzusammensetzt.

Damit werden die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ord-nung verlassen und Beispiele für solche der dritten Ordnung in An-griff genommen. Monge beginnt mit den allgemeinen Regel-flächen (Nr. 29 und 30), und stellt, durch ganz analoge Betrach-tungen wie früher, die sie definierende Gleichung in vier verschiedenenFormen auf, nämlich:

1. als partielle Differentialgleichung dritter Ordnung, wobei zurAbkürzung

«+ yV — rt

“ = —i —

gesetzt wird. Die Gleichung heißt dann:

Z i 02

Tr— -f 6u —^- \- da* . .

ex* cx*cy dxdy

c s z , 8 s z

+ u s —. = 0:1 cy ’

2. als partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einerwillkürlichen Funktion, und zwar auf drei verschiedene Arten:

P + “<1 = y — ax = i'{a)-, z - (j> + uq) = x(u),

wo a dieselbe Bedeutung hat wie vorher, und q, tl’, -t willkürlicheFunktionen sind;

3. als partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit zweiwillkürlichen Funktionen. Man erhält die Gleichung durch Eliminationvon « aus irgend zwei der in 2. aufgestellten drei Gleichungen, sodaß also noch zwei von den drei Funktionen q, ip, n in die Gleichungeingehen;

4. in endlicher F’orm mit drei willkürlichen Funktionen, nämlich:

y — ux = z — x ■ q («) = sc(«),

wo u ein variabler Parameter ist, durch dessen Elimination aus denbeiden Gleichungen die Fläche in die Form F(x, y, z) = 0 gebrachtwerden kann.

Zunächst wird dann gezeigt, wie man aus der partiellen Diffe-rentialgleichung dritter Ordnung ganz ebenso wie bei denen ersterund zweiter Ordnung die Differentialgleichung der Charakteristiken