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Abschnitt XXIV.

finden kann, und daß diese Methode auf Gleichungen beliebig hoherOrdnung anwendbar ist, die linear in den DifFerentialquotienten höch-ster Ordnung sind. Als zweites Beispiel werden noch die Flächenbehandelt, die als Enveloppen einer Kugel von veränderlichemRadius entstehen, deren Mittelpunkt sich auf einer gegebenen Raum-kurve bewegt (Xr. 31). Den Schluß des Ganzen bildet die schoufrüher (S. 531 ff.) besprochene Untersuchung der Evoluten und Krüm-mungsverhältnisse einer Raumkurve (Xr. 32—34).

Zum Schluß berichten wir noch kurz über die Fortschritte derKartographie in unserem Zeitraum, soweit die mathematische Seitedaran in Betracht kommt. Auch hier hat Euler die erste allgemeineStellung und Lösung des Problems gegeben. Voran gehen einige Arbeitenvon Kästner 1 ), die sich jedoch nur mit der stereographischen undgnomonischen Projektion befassen, sowie ein Abschnitt aus dem III. Bandvon Lambert, Beyträge zum Gebrauch der Mathematik und derenAnwendung (Berlin 1772), S. 105—192. In der Einleitung wird einklarer Überblick über die verschiedenen Forderungen gegeben, die aneine Karte zu stellen sind (Winkeltreue, Flächentreue usw.) und ge-zeigt, inwieweit die verschiedenen Projektionsarten denselben genügen,und wie die Erfüllung einer Forderung die Vernachlässigung eineranderen nach sich zieht. Eine allgemeine Lösung der Aufgabe, dieKugel konform auf die Ebene abzubilden, gibt jedoch Lambert nicht,dagegen folgende Formeln für die stereographische Projektion:

dy =

n dpcos p

+ mdk]

dx = —

m dpcos p

nd)..

Hierbei bedeutet p die geographische Breite, h die geographischeLänge, m und n die partiellen Ableitungen von x und y nach DieArbeit verfolgt im weiteren Verlauf mehr praktische Zwecke; vonInteresse ist jedoch noch die Bemerkung, daß die Mitteilung derobigen Formeln an Lagrange diesen zu seinen Untersuchungen überdiese Fragen (s. S. 575 ff.) veranlaßt habe.

Euler entwickelt seine Methoden in einer Abhandlung: „De re-praesentatione superficiei sphaericae super plano“ 8 ), und bemerkt ein-leitend, daß es sich um die Aufgabe handle, die Koordinaten einesPunktes x, y der Ebene als Funktionen der sphärischen Koordinaten(t = geogr. Länge, u = geogr. Breite) so darzustellen, daß die hierdurchbestimmte Abbildung gewissen Forderungen genüge.

*) Theoria projectionis stereographicae horizontalis. Diss. matk. pkjs.Altenburg . 1771, p. 88ff. (1766). Additio ad tkeoriam proj. ster. hör. NoviGoetting. Commentarii, T. 1, p. 138—193 1770). Theoria projectionis super-

ficiei sphaericae in planum tangens, oculo in centro posito. *) A. P. 1777, I,p. 107—132.