Raumkurven und Flächen.

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Zunächst werden nun die Bedingungen der Kongruenz durchanalytisch-geometrische Betrachtungen entwickelt und gezeigt, daß esnicht möglich ist, diese zu erfüllen. Da also hiernach auf die Kon-gruenz verzichtet werden muß, kann man andere Bedingimgen stellen,und deren analytischen Ausdruck entwickeln. Sollen z. B. Meridianeund Parallelkreise sich als zwei orthogonale Kurvensysteme abbilden,so muß:

dxdx dy dydu dt ' du ct

sein; sollen sie insbesondere in die Parallelen zu den Koordinaten-achsen übergehen, so muß:

•2" = AO; ?/ = ?(«)

sein. Dies wird auf die Merkatorkarte angewendet. Weiter wirdeine Abbildung gesucht, bei der jedes Stück der Kugel sich als einStück der Ebene von gleichem Flächeninhalt abbildet, also dieflächen treue Abbildung. Da das Flächenelement der Kugel= dudt cos u, das der Ebene = dxdy ist, so ist diese Forderung jeden-falls erfüllt, wenn:

x — t, y — sin u

ist. Hierbei ist das Bild der Erdoberfläche ein Rechteck, und natür-lich in den Polargegenden sehr stark verzerrt.

Nach diesen Einzelbeispielen wird nun die „Hypothesis, qua

regiones terrae per similes figuras exhibentur“, d. h. die winkeltreue

oder konforme Abbildung im heutigen Sinne eingehend behandelt.Da hierbei das Gradnetz der Erde sicher in zwei orthogonale Kurven-systeme übergeht, so ist jedenfalls notwendig, daß, wie oben,

,£]L<)y = odu dt 'dudt

ist. Euler setzt nun zur Abkürzung:

cx _ dx dy

du dt du

Dann ergibt sich als notwendige und hinreichende Bedingung

O O ö o

der Winkeltreue:

dx = pdu + rdt cos u\ dy = rdu — pdt cos u.

Die Integration dieser Gleichungen wird auf doppelte Art —Methodus particularis und Methodus generalis — geleistet. Die erstereist etwas umständlich, die zweite dagegen sehr bemerkenswert, weilhier zum erstenmal komplexe Größen zur konformen Abbil-