Kaumkurven und Flächen.

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nicht unterlassen, noch einmal hervorzuheben, daß die ungemeinfruchtbare Idee, zur Lösung dieser Aufgabe komplexe Größenzu verwenden, Eulers Eigentum ist.

Auch die Aufgabe, eine flächentreue Abbildung der Kugel aufdie Ebene herzustellen, ist von Euler gelöst worden, und zwar fürden Fall, daß das Gradnetz in zwei orthogonale Kurvensysteme über-geht; hier gibt allerdings Euler nur spezielle Lösungen. In einerunmittelbar folgenden Note („De projectione Geographica superficieisphaericae“ 1 ) zeigt er noch, wie die stereographische Projektion einenSpezialfall der von ihm aufgestellten allgemeinen Formeln für diekonforme Abbildung darstellt.

Sehr eingehend hat sich Lagrange in einer längeren Abhand-lung: „Sur la construction des Cartes geographiques“ 2 ) mit der winkel-treuen Abbildung beschäftigt. Zwar geht die Aufstellung der Ab-bildungsformeln nicht wesentlich über das von Euler Geleistete hin-aus; sie lauten nämlich bei Lagrange:

x + iy = f(n + it'y x — iy = qp(« — it),wo f und cp noch willkürlich sind, aber natürlich eine reelle Abbil-dung nur dann ergeben, wenn sie konjugierte Funktionen sind. Da-gegen tritt hier eine ganz neue Fragestellung auf, nämlich wie f und<p gewählt werden müssen, damit Meridiane und Parallelkreisein bestimmte, vorgegebene orthogonale Kurvensysteme derEbene übergehen. Diese Frage wird für verschiedene besondereFälle gelöst. Neu ist ferner, daß Lagrange das Vergrößerungs-Verhältnis iu Betracht zieht; wird dies mit m bezeichnet und ist dasLinienelement der Kugel:

ds 2 -= dir -f- q'dt 3 ,

so ist:

2 __ _1_ <

m <rf\ u + — *0 '

Er erörtert hierbei auch die Frage, wie der Meridian der Erde be-schaffen sein müßte, wenn m konstant sein sollte, und findet natür-lich, daß in diesem Fall die Meridiane gerade Linien sein müßten.

Die weiteren kartographischen Arbeiten von Schubert, Lorgna,Kästner u. a. haben mehr geographisches oder nautisches, als speziellmathematisches Interesse. Nur aus einer Abhandlung von Schubert:„De projectione sphaeroidis ellipticae geographica“ 3 ) ist einiges bemer-kenswert; zunächst, daß dort von einer projectio tigurae ellipticaeconformis die Rede ist, was wohl das erste Vorkommen des Wortes

"i A. P. 1777, I, p. 133—142. *) Nouveaux memoires de l’Academie

Royale des Sciences et Belles-Lettres ä Berlin 1779, p. 161—210. 3 ) N. A. P.p. 130—146.