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Abschnitt XXV.

Stellungsmethoden; dasselbe gilt von den Regelflächen, deren Erzeu-gung durch die Bewegung einer Geraden, welche drei feste Direktrizenbeständig schneidet, im I. Anhang zur 1. Auflage der „Geometrie de-scriptive“ gelehrt wird. Das Verfahren zur Darstellung der Erzeugen-den einer solchen Fläche war von Monge schon 20 Jahre vorher inder Abhandlung „Memoire sur les proprietes de plusieurs genres desurfaces courbes“ (p. 4J5) bekannt gemacht; es ist zu bedauern, daßdieses Verfahren nicht nach Verdienst bekannt geworden ist, da esin einer Arbeit enthalten ist, welche scheinbar mit der darstellendenGeometrie nichts zu tun hatte.

Die einfachste aller Flächen ist die Ebene, welche man durchdie Bewegung einer Geraden erzeugen kann, die eine andere Geradeimmer schneidet und einer dritten parallel ist; als bestimmende Ge-rade einer Ebene ist es ratsam, diejenigen zu wählen, in welchen diebetrachtete Ebene die Projektionsebenen schneidet; sie bilden die„traces“ (SpurenJ der Ebene, ein von Monge vorgeschlagener undallgemein angenommener Name.

Diese Begriffe erlauben, eine große Menge wichtiger Problemeaufzulösen; unter den unendlich vielen, die man behandeln könnte,wählt Monge die neun folgenden aus: Durch einen Punkt dieGerade zu ziehen, welche einer anderen parallel ist oder eineEbene rechtwinklig schneidet, oder die Ebene, welche einer anderenparallel ist oder eine andere Gerade rechtwinklig schneidet (I—IV);die Schnittlinie zweier Ebenen zu finden (V); den Winkel zweierEbenen, zweier Geraden oder einer Ebene mit einer Geraden zu be-stimmen ( VI—VIII); einen Winkel am Horizont zu reduzieren (IX).Wenn man auch über die Reihenfolge und die Auswahl solcher Frageneinen gewissen Vorbehalt machen kann (^da nicht immer die schwie-rigeren den einfacheren folgen, und man nicht verstehen kann, warumz. B. die Bestimmung der Schnittlinie zweier Ebenen ex professo behan-delt wird, während dies für den Schnittpunkt einer Ebene mit einerGeraden nicht geschieht), so muß man doch anerkennen, daß die Auf-lösungen so geistreich und von so wunderbarer Einfachheit sind,daß die Epigonen Monges i. A. keine besseren zu finden ver-mochten; die schönste unter allen scheint uns die allgemein bekanntedes VI. Problems zu sein.

Mit dieser Aufgabe schließt der I. Abschnitt. Der II. Abschnitthandelt von den Berührungsebenen und den Normalen der Flächen.Die Berührungsebene in einem Punkt einer Oberfläche ist bestimmtdurch die Tangenten in jenem Punkte an die entsprechenden zweiErzeugenden ^s. o.) derselben; daß die Ebene von der Wahl der Er-zeugenden unabhängig ist, wird von Monge nicht bewiesen, ja nicht