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Abschnitt XXV.
„Die Schnittlinien krummer Flächen“bilden das Thema des IV. Ab-schnittes unseres Werkes. In der Einleitung zu demselben verweistMonge auf die bereits früher von ihm skizzierten Ideen betreffs dervollkommenen Übereinstimmung, welche zwischen den Operationender Algebra und denen der darstellenden Geometrie besteht, undschließt mit der folgenden Bemerkung: „II faut que l’eleve s’aceou-tume de bonne beure ä sentir la correspondance qu’ont entre eilesles operations de l’analyse et celle de la geoifletrie; il faut qu’il semette en etat, d’une part, de pouvoir ecrire en analyse tous lesmouvements qu’il peut concevoir dans l’espace, et, de l’autre, de serepresenter perpetuellement dans l’espace le spectacle mouvant dontchacune des operations analytiques est Tecriture“. Xach diesen allge-meinen Betrachtungen setzt er die allgemeine Methode auseinander,um die Schnittlinie zweier Flächen F' und F" punktweise zu zeichnen;der von Monge vorgeschlagene Kunstgriff ist derselbe, dessen wir unsheute noch bedienen; er besteht darin, daß man die gegebenen Flächendurch eine Reihe von Hilfsflächen F schneidet und die KurvenFF' und FF", wie auch deren Schnittpunkte bestimmt. Wechseltman F, so wechseln auch diese Punkte, und so wird die verlangteKurve F'F" erzeugt. Im allgemeinen empfiehlt es sich, als Hilfs-flächeu horizontale oder vertikale Ebenen zu wählen; wenn aber F'und F r Kegel oder Zylinder sind, so ist es vorteilhafter, andereEbenen zu wählen; und wenn die Achsen zweier Rotationsflächen sichschneiden, so ist es das beste, F kugelförmig anzunehmen. Die vonMonge untersuchten Fälle dieses allgemeinen Problems beziehen sichauf die Schnittlinien von Kegeln, Zylindern und Rotationsflächen, diesich entweder untereinander oder mit Ebenen schneiden; von den so ent-stehenden Kurven werden nicht nur die Projektionen der Punkte undTangenten bestimmt, sondern, wenn es sich um Schnitte durch Ebenenhandelt, auch die wahre Form und Größe (durch Umlegungen), oderihre Abwicklung, falls sie auf Kegeln oder Zylindern beschriebensind. Im allgemeinen ist dies alles in die folgenden Lehrbücher derdarstellenden Geometrie ohne wesentliche Veränderungen übergegangen.Zu bemerken ist noch, daß Monge mehrmals von der Veränderungder Projektionsebenen spricht, ohne aber eine Anweisung zu geben,wie man dieselbe ausführen kann. Zum Schluß des besprochenenAbschnittes legt Monge die Robervalsche Tangentenmethode dar,ohne die Grenze ihrer Anwendbarkeit zu bestimmen 1 ); er versuchtauch, sie auf den Raum auszudehnen; die Kurve aber, welche er