Die Grundlagen der Infinitesimalrechnung.

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aber erkennen, daß die Fehler sich aufgehoben haben? Die in denRechnungen vorkommenden Größen sind teils bestimmt, wie TP,MP, BP, teils unbestimmt, wie MX, MQ, XQ ; die letzteren schleichensich in die Rechnungen ein, wenn wir zur Erleichterung gewisseGrössen durch andere ersetzen, die von diesen wenig verschieden sind,und von diesen ausschließlich hängen daher die Fehler ab, mit welchendie Resultate behaftet sind. Sobald also sämtliche willkürliche Größenaus den Rechnungen entfernt worden sind, können wir mit Sicherheitannehmen, daß die Fehler sich aufgehoben haben.

Kann eine willkürliche Größe (wie X 0) so wenig verschiedenvon einer bestimmten (wie MP) angenommen werden, als man will,so sagt man, die letztere sei die Grenze der ersteren, und die Diffe-renz (nämlich XQ) sei unendlichklein; eine unendlichkleine Größeist also eine willkürliche Größe, welche die Null zur Grenze hat.Die ungenauen Gleichungen (wie (2)) werden zu genauen, sobald mandie in denselben vorkommenden willkürlichen Größen durch derenGrenzen ersetzt. Dadurch erklärt sich, wie die scheinbar ungenaueRegel von der Vernachlässigung der unendlichkleinen Größen zu ge-nauen Resultaten führen kann.

Will man aber die Unbequemlichkeit vermeiden, mit ungenauenGrößen zu tun zu haben, so kann mau die unendlichkleinen Größenals streng verschwindend betrachten, mit der alleinigen Vorsicht, dieetwa vorkommenden Verhältnisse je zwei solcher Größen durchderen Grenzen zu ersetzen.

Wird also gefragt, ob man die unendlichkleinen Größen alsverschwindend betrachten muß oder nicht, ein Dilemma, das zu vielenDiskussionen Veranlassung gegeben hat, so läßt sich antworten: mankann nach Belieben ebenso den einen wie den anderen Standpunktbehalten.

Ist so die Strenge der Infinitesimalrechnung gesichert, so bleibtnur noch übrig, zu bemerken, daß sie die Grenzmethode, mit wel-cher sie in den Resultaten übereinstimmt, au Einfachheit weit über-trifft, insofern sie sich vorsetzt, jeder Grenzbestimmung zu entbehrenund mit bloß algebraischen Rechnungen zu verfahren. Wird manalso, fragt Carnot, auf die unermeßlichen Vorteile verzichten, diedie Infinitesimalmethode darbietet, aus Furcht, sich auf einen Augen-

Yorgänger gekannt hat oder nicht, möge dahingestellt bleiben. Einem anderenVorgänger, X. Fiorentino, werden wir weiter unten begegnen. Es möge hierauch die Aussage von Segner (s. u.) erwähnt werden, daß das Gleichheitszeichenin einer Differentialgleichung nicht die Gleichheit, sondern das Streben nachGleichheit bedeutet.