Die Grundlagen der Infinitesimalrechnung.
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1 -j- 1 + • • • spalten. Welcher von den beiden Standpunkten derrichtige sei, hängt von der Xatur der in jedem besonderen Falle zubehandelnden Frage ab. Hat man mit einer Linie zu tun, so kann
2 + 2 + • ■ • nichts anderes als 1 + 1 + • • • bedeuten (m. a. W., eskommt auf dasselbe hinaus, ob man auf eine Gerade unendlich vieleStrecken von der Länge 1 oder von der Länge 2 nimmt); bewegtman sich dagegen in der Ebene oder im Itaume, so kann man dieReibe in andere zerlegen, so z. B. kann man die Strecken 1 + 1 -j— •auf einer Geraden und die Strecken 1 + 1 + ■ • • auf einer anderennehmen, woraus 2 -f- 2 + • • • = 2 cc folgt. In analogem Sinne kannman schreiben:
1 —j— 3 —o —• = cx>*\
Der Satz, daß das Ganze größer ist als jeder Teil, besteht nichtunbedingt für unendliche Größen, wie sich leicht aus der Bemerkungfolgern läßt, daß alle Halbstrahlen einander kongruent sind.
Die zweite Abteilung des Versuches ist der „Meßkunst desUnendlichgroßen“ gewidmet. Es ist kaum nötig hervorzuheben, daßdieser Gegenstand jedes Interesses entbehrt; der Verfasser selbstschließt, nachdem er sich bemüht hat, einen unendlichen Kurvenastzu rektifizieren, daß die Länge eines solchen Astes immer ooy ist,wo y eine endliche Größe bezeichnet, so daß die Rektifikation nutz-los erscheint.
Eine andere mehr philosophische als mathematische Schrift istder J. Schultz gewidmete Versuch von Bendavid. 1 ) LazarusBendavid, geboren zu Berlin am 18. Oktober 1762, gestorben da-selbst am 28. März 1832, ist wohl bekannt als eifriger Kantianer; erhatte aber eine so ausgezeichnete mathematische Bildung, daß Käst-ner von ihm sagte, er wäre würdig, jeden Lehrstuhl Deutschlands ,mit alleiniger Ausnahme des von ihm selbst innegehabten, zu be-steigen. *
Bendavid wirft sich drei Fragen vor: Was ist das mathema-tische Unendliche? Darf man hoffen, in der Rechnung mit unend-lichen Größen eine gleiche Evidenz zu erreichen, wie in der Elementar-geometrie? Welchen Einfluß hat die Klarheit der Prinzipien auf dieStichhaltigkeit der Resultate? — Unendlich heißt eine Größe, wennsie nicht meßbar ist; das Unendliche stellt also nicht eine Quantität,sondern eine Eigenschaft dar. Die Unmeßbarkeit kann entweder vomFehlen jeder Quantität herrühren (wie z. B. für einen Punkt), odervon der Unmöglichkeit, die Quantität vollständig anzugeben (wie z. B.
*) Versuch einer logischen Auseinandersetzung des mathema-tischen Unendlichen, Berlin 1780.
Cantor, Geschichte der Mathematik IV.
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