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Abschnitt XXVI.

für tau" ; im ersten Falle heißt die Größe unendlichklein, im

zweiten unendlicligroß. Das Unendliche fällt, als Gegenstand derArithmetik betrachtet, mit der Null zusammen. Diese sonderbareBehauptung wird wie folgt bewiesen. Jede Größe kann, vomarithmetischen Standpunkte aus, nur in bezug auf eine Maßeinheitgedacht werden; nur die Null läßt sich absolut denken; da also dasUnendliche nicht meßbar ist und daher nur absolut gedacht werdenkann, so muß es mit der Null übereinstimmen. Dies festgesetzt,fragt sich Bendavid, wie ein solcher Begriff in der ArithmetikPlatz finden kann. Diese Frage, welche aus den Prämissen ganzlogisch folgt, hätte wohl Bendavid von der Unhaltbarkeit seinerIdeen überzeugen sollen; dagegen beantwortet er sie dadurch, daß er diemathematischen Resultate auf den Gewißheitsgrad von Analogieschlüssenherabsetzt. Es gibt, sagt er, physische und metaphysische Begriffe,die wir nur unvollständig besitzen, und aus welchen wir zwar nichtapodiktische, wohl aber problematische Sätze ableiten können; mankann z. B. aus der zwischen der Erde und dem .Monde stattfindendenÄhnlichkeit schließen, daß es auch im Monde Berge, Flüsse, lebendeWesen gibt. Auf gleiche Weise verfährt man in der Mathematik.Die Ausdrücke oc + a, dx + a, wo oc das Unendlichgroße, dx dasUuendlichkleine bezeichnet, haben für sich selbst keine Bedeutung;denn man kann nicht eine Eigenschaft und eine Größe zusammen-addieren. Von den zwei Summanden muß also einer wegfallen. Imersten Fall verschwindet der zweite Summand, da das Unendlichenicht mehr unendlich wäre, wenn es sich durch Hinzufügung einer Größe avermehren ließe; im zweiten Fall ergibt sich dx + a = a durch Ana-logie mit den sehr kleinen Größen. Das Produkt hoc drückt dieWiederholung eines und desselben Begriffes aus, wie z. B. n Tangentenvon rechten ^Winkeln; als Summe betrachtet ist nc c = oc. Daß

— = dx, folgt aus Analogie; man kann auch bemerken, daß — eineOO 7 D D ' oc

auf ein unendliches Maß bezogene endliche Größe darstellt. Auf ahn-liehe Weise lassen sich andere infinitäre Ausdrücke, wie , dx-\-dx,

adx usw. deuten. Aus dem Gesagten schließt Bendavid, daß dieTheorie des Unendlichen als eine „unmathematische Wissenschaft“angesehen werden darf, welche keineswegs die Evidenz der Elementar-mathematik besitzen kann; daß aber dennoch ihre Schlüsse ganzstreng sind, da der Begriff vom Unendlichen widerspruchsfrei ist.Wir möchten fast sagen: je unmathematischer die BendavidscheTheorie des Unendlichen ist, desto unphilosophischer ist seinSchlußsatz!