Lehrbücher der Infinitesimalrechnung.

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p + o = p (x + i ) = p + ip H -,

y + iy H— = f(p + °) = /'Cp) + ofO) —

= f(p) + (ip H-) f G>) + • • • = /Tp) + *>?'(» + • • • >

also:

//' = p'f'(p)-

Ist nunmehr y = f(p, q), und setzt man x + i statt x in p, sowird die Funktion:

f + ipfp H-*)>

setzt man dagegen x + i statt x in q, so erhält man:

/'+ «üf7 s 'H—;

es ergibt sich folglich durch die gleichzeitige Einsetzung von x + iin j) und in q:

t + i ( l (f.j + + ••*) + ip (t P + • • ■)>

also:

y'=-p'fp+ a'f'r

Ist y = f(x) eine implizite, durch die Gleichung:

F(x, y) = 0

definierte Funktion von x, und setzt man:

F{x, f(x)) = (f (x),

so erhält man aus tp(x) nach Ersetzung von x durch x + i:

q, (x) + i (f ' («) + •••;

es ist aber q)(x) = 0 für jeden Wert von x, folglich ist (p'(x) = Q oder:

f; + y'F; = o,

woraus sich ergibt:

F *

y=- F; -

Die Regel von L’Hospital wird folgendermaßen bewiesen. Es sei:

aus:

ergibt sieh:

</-£§, rt»)-F(a)-0;

yF (x) = f(x)

y'F(x ) + y F' (x) = f' (x),und hieraus für x = a:

*) Lagrange bezeichnet die partiellen Ableitungen von f(p, q) nach p, q,wo p, q Funktionen von x sind, mit f’{p), f'(q), dagegen die Ableitungen vonfix, y) nach x, y mit f'(x, yj, f x (x, y).