690

Abschnitt XXVI.

Wäre auch:

so würde man erhalten:

V

f'{a) _

V I [a )

/■'(fl) = *”(«) - 0,

y =

/"»

1

usw.; und es ist nicht zu befürchten, daß sämtliche Ableitungen ver-schwinden mögen, denn es wäre dann:

f(a + 0 = 0, F (a + i) = 0für jeden Wert von i.

Darauf kommt Lagrange auf die Aufstellung der nach ihm be-nannten Restformel und auf die Theorie der gewöhnlichen Differential-gleichungen.

Was die Funktionen von zwei Variablen betrifft, so nimmt La-grange als selbstverständlich an, daß/■(# + ?, y + o) sich überhaupt ineine nach steigenden Potenzen von /, o fortschreitende Reihe ent-wickeln läßt, deren erstes Glied f(x, y ) ist. Um das Gesetz dieserReihe zu finden, setze man zuerst x + i statt x-, dann ist:

f(x + i, y) = f{x, y) + ifj(x, y) + feix, y) H-.

Setzt mau jetzt y -f- o statt y, so folgt:

f(x + i, y + o)= f{x, y + o) + if x '(x, y + o) + * 2 ffex, y + o) ■ ■ •.Es ist aber:

f{x, 3 / -h o) — fix, y) + off fe y) + ° 2 -feix, y)-\ -,

fjfe y + o) = feix, y) + offyix, y)-\ -,

fxxix, y + o)= feix, «/) + •■•,

also:

fix + i, y + o) = fix, y) + iff(x, y) + off (x, y) + ^fefe y)

+ iofeyix, y) + y feix, y) -|-.

Läßt man dagegen zuerst y um o, dann x um i zunehmen, sowird man analog erhalten:

fix + i, y + o) = fix, y) + iff(x, y) + off ix, y) + feix, y)+ io feix, y) + ?- feix, ?/) H-.