Lehrbücher der Infinitesimalrechnung.

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Aus dem Vergleich der beiden Entwicklungen folgt der bekannteSatz (diese York, III 2 , S. 759, 881):

f*y 0, y) = fyx(x, y).

Die Funktionen von mehr als zwei Variablen werden analog behan-delt. Die erste Abteilung des Werkes schließt mit der Untersuchungder partiellen Differentialgleichungen.

Die zweite Abteilung ist den geometrischen Anwendungen gewidmet.Lagrange bemerkt, daß die Alten die Tangente als eine solche Ge-rade definierten, daß zwischen derselben und der Kurve keine andereGerade liegen könne; später betrachtete man die Tangente entwederals eine Sekante mit zusammenfallenden Schnittpunkten, oder als dieVerlängerung einer Seite eines Unendlichvieleckes, oder als dieRichtung der Bewegung, durch welche die Kurve beschrieben werdenkönne. Hieraus entstanden einerseits die algebraischen, auf die Gleich-heit der Wurzeln der Gleichungen gegründeten, andererseits die diffe-rentiellen, die Verhältnisse von unendlichkleiuen Differenzen oder vonFluxionen benutzenden Methoden. Unser Verfahren, fährt Lagrangefort, gestattet uns, die Begriffe und die Methoden der Alten wiederaufzunehmen.

Es mögen:

y = f 0 ), y =

zwei Kurven darstellen. Damit sie einen gemeinschaftlichen Punktbesitzen, muß sein (für einen gewissen Wert von x):

f(x) = F(x).

Lm die beiden Linien in der Nähe dieses Punktes untereinander zuvergleichen, setzen wir x + i statt x ; der Unterschied der beidenOrdinaten ist dann:

f(x + i) — F(x + i) = i (f'(x) — F'{x)) -(- (f(x) — F" (pc)) -\ -;

er ist um so kleiner, je mehr Glieder rechts verschwinden. Es seinunmehr:

y = <p[x)

eine dritte, durch denselben Punkt gehende Linie, so daß:

f(x) = Fix) = cp {x)

ist, und setzen wir:

D = f(x+ i) — F(x + i) = i(f (x)) — F' (x)) + l — {f\x +j)- F"{x +j)),J = f(x + i) — cp(x+ i) = i(f'(x)) — cp'(x))+ (f"(x +j) - tp"(x +j)),

Cantor, Geschichte der Mathematik IV.

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