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AbBcbnitt XXVI.

Theorie der Kugelfunktionen zu fordern und zu erweitern. Er führtedie von zwei Paaren von Veränderlichen &, co, 9', co abhängigenKugelfunktionen Y n ein, stellte die Differentialgleichung auf, welcherdieselben genügen, nämlich:

wo u = cos ff; ferner entwickelte er Y n nach den Kosinussen derVielfachen von co — co', und gab die Integralrelation:

1 2 n

fj‘Y n Y n diHl

0 für m =)= n

-1 u

Die Untersuchungen von Laplace wurden von Legendre inder zuletzt angeführten Abhandlung wieder aufgenommen und ver-vollständigt.

2. Elliptische Integrale. 1 )

Die Theorie der elliptischen Integrale, deren Geburt wir in dervorhergehenden Periode beigewohnt haben, nahm in der gegenwär-tigen einen unerwarteten Aufschwung infolge einer von Euler ineiner im Jahre 1754 herausgegebenen anonymen Schrift 2 ) aufgewor-

fenen Frage. Es war eben diese Frage, die G. B. Fagnano dazu auf-

munterte, die Untersuchungen seines Vaters wieder aufzunehmen, unddessen Prioritätsrechte zu behaupten, während für Euler selbst seineeigene Frage der Ausgangspunkt einer Reihe von wichtigen Arbeiten war.

Um uns inmitten der großen Menge von uns vorliegendenSchriften zu orientieren, werden wir versuchen, dieselben um zweiGrundfragen zu gruppieren, nämlich:

A. Beziehungen zwischen Bögen eines und desselben Kegel-schnittes (Eulersche Differentialgleichung, Additionssätze);

(publ. 1785); Oeuvres X, Paris 1894, p. 341—419. Daß die Priorität der Er-findung der Kugelfunktionen Legendre zukommt, ist ganz unzweifelhaft; sieheHeine, Handbuch der Kugelfunctionen, II. Auf!., Berlin 1878, Einleitungzum ersten Bande.

*) Über die Geschichte der elliptischen Integrale führen wir zwei wertvolleWerke an: Enneper, Elliptische Functionen. Theorie und Geschichte,II. Auf!., Halle 1890; Bella'cchi, Introduzione storica alla teoria dellefunzioni ellittiche, Firenze 1894. s ) Daß diese Schrift von Euler herrührt,ergibt sich aus Nova Acta Erud. 1770, p. 433 und aus Novi Comm. Acad. Petrop.VH. 1758—1759 (publ. 17011, p. 128.