Transzendenten. Elliptische Integrale.

793

A'o — 1)

X, = *,

y = 1-3-5---(2 h - 1) / _ w(n - 1) 2

n 1 • 2 • 3 • • ■ >i \ 2(2n — 1)

die aus der Reihenentwicklung:

1

I M(ti-l)(n-2)(n-3) 4 \

' 2 ■ 4(2n— 1)(2» — 3) /'

= X 0 + X 1 z + X 2 z~ +

y i — 2 xz + z“~

entstehen. Über diese Polynome beweist er die folgenden Sätze 1 ):

a) A„(l)=l;

b) ,X,(i) <1 für x <1;

c) die Wurzeln der Gleichung X n (x) = 0 sind sämtlich reell,kleiner als 1 und voneinander verschieden;

d) Jx n X r dx =

n(n — 1) • • • (n — r + 2)

{n + r + 1) (n + r — 1) • • • (n — r + 3) ’

insbesondere:

e )

f'l

1

jx in X %r dx = 0 für w<r:o

i

IX m X n dz = 0 für m = t= w;

-*i

i

-1

1

/ * X 2 „ d x

Sn

(1 4- kx*) ■

_ = 2 (-*)"

+ 3 2« + l 3» +1 '

( 1 +*) 2

Die erste Schrift von Legendre wurde der Pariser Akademieim Jahre 1784 vorgelesen, und bot Laplace 2 ) Gelegenheit dar, die

*) Einige von diesen Sätzen wurden von Legendre zuerst für gerade,später aber für beliebige Indizes aufgestellt. *) Theorie des attractionsdes sphero'ides et de la figure des planetes, Hist. Acad. Paris 1732