Totale und partielle Differentialgleichungen.

Um die Mitte des 18. Jahrhunderts seheu wir die Theorie derDifferentialgleichungen bereits als eine selbständige mathematischeDisziplin vor uns. Während die Untersuchung von Differential-gleichungen anfänglich nur Mittel zum Zweck war, während ihreLösung ursprünglich sozusagen nur als Nebenrechnung bewerkstelligtwurde, war ihre Integration mittlerweile Selbstzweck geworden.Auch die Problemstellung hat sich geändert. In den ersten Zeitenwerden Integrationen in geschlossener Form durch elementare Trans-zendenten verlangt, bald beschränkt man sich auf bloße Quadraturen;aber auch diese Forderung wird fallen gelassen; man ist zufrieden,überhaupt die durch die gegebene Differentialgleichung definierte Ab-hängigkeit diskutieren und womöglich durch unendliche Reihen oderbestimmte Integrale ausdrücken zu können. Trotz dieses freiwilligenAufgebens zu hoch geschraubter Forderungen ist natürlich die Fragenach Integrationen in endlicher, geschlossener Form nicht erloschen;aber während man früher schlechthin für jede Differentialgleichungein derartiges Integral verlangte, fragt man jetzt umgekehrt nachGleichungen, welche eine Integration durch eine endliche Zahl ele-mentarer Funktionen erlauben. Derartige Nachforschungen haben dieEntdeckung größerer Gruppen integrabler Typen zur Folge. Solcheenthält z. B. eine Arbeit von d’Alembert in den Memoiren derfranzösischen Akademie von lTlil. 1 ) D’Alembert sucht zuerst Aus-drücke, die sich mit Hilfe der Exponentialfunktion, des Integral-logarithmus, von Logarithmen und elliptischen Integralen integrierenlassen. Im folgenden gibt er eine Reihe von eigentlichen Diffe-rentialgleichungen, meistens 2. Ordnung, die aber viel zu speziellsind, als daß wir hier darauf eingehen könnten, und Bedingungenfür ihre Integrabilität. Wie er diese Gleichungen erhalten hat. legter in einem späteren Aufsatze dar 2 ): Seine Methode besteht darin,

‘) Hi s toi re de l’Academie Royale des Sciences (avec les Memoires deMathematique et de Physique) 1767 (1770), p. 573 ff. (s. o. S. 728, 838). DieSeitenzahl bezieht sich hier, wie bei den Petersburger Akademieschriften, nur wennbesonders bemerkt auf die Histoire selber. *) Ebenda 1769 (1772), p. 73 ff.