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Abschnitt XXVII.

aus einer integrablen Gleichung durch verschiedene Kunstgriffe wiederneue abzuleiten. Ähnlich leitet Euler 1 ) aus der Gleichung ddy = Ydx 2 ,wo Y eine Funktion von y allein ist, und die mit Hilfe des Multi-

plikators 2 integriert werden kann, neue Typen ab, indem erz. B. x als abhängige Variable auffaßt. So ergibt sich

dycPx = — Ydx 6 ,d. i. in unserer Schreibweise

Eine neue Gleichung liefert die Einführung von

ds = ydx 1 + d\ß

usw. Aus

SSddz + SdSdz — aazdx- = 0

leitet er 2 ) durch Substitutionen wie z = ~ und S = ^, wo P und

Ii Funktionen von x sind, neue Gleichungen und im Falle der Inte-grabilität neue Fälle integrabler Gleichungen ab. Ähnlich erkennter, daß die Gleichung

/ O

1 tddz'

/ ddz\ _ fddz\

\ d W ~ UW

* (*' + 1

ein endliches Integral besitzt. 3 ) Ein von Euler oft geübtes Ver-fahren, in endlicher Form integrable Differentialgleichungen zu finden,besteht darin, daß er die Bedingungen aufsucht, unter welchen diedas Integral darstellende unendliche Reihe abbricht (vgl. S. 913, 989und 992). So integriert' 1 ) er die Gleichung

dtp , ccydx* x Sm + i

allgemein in der Form

•) sin ( ° + 6)

\m x m )

(1 — Bx 2m + Dx

— kx - (Äx m — Cx 6m + •••') cos ( c -f- I)

' • y \ ,,, „W* ’

*) Institutiones calculi integralis, vol. II, 1769, p. 25. *) Ebenda, p. 142.

*) Misccllanea Taurinensia t. III a (der Index 2 deutet die 2. Paginierung am1762/65 1 1766), p. 70. Die Klammern deuten, wie überall im folgenden, partielle

Differentialquotienten an. 4 ) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae,

t, IX, 1762/63 (1764), p. 298.