876
Abschnitt XXVII.
tischer Verwertbarkeit kommt vorzüglich für partielle Differential-gleichungen in Frage, während von den totalen Gleichungen hauptsäch-lich solche behandelt werden, die formal, also vermöge Grad, Ordnung,Variabeinzahl eine ausgezeichnete Rolle spielen. Doch bietet auch beitotalen Gleichungen die Anwendung noch oft genug den Ausgangspunkt,die Veranlassung zur Untersuchung; es sei hier nur auf das Vorkommender natürlichen Gleichungen bei Nils Landerbeck (1735—1810, Pro-fessor zu Upsala ) hingewiesen, ln einer Abhandlung aus dem Jahre 1783
(i a
wird zunächst ein index variationis curvaturae T = ,() wo It den
Krümmungsradius, clz das Bogenelement einer ebenen Kurve bedeutet,
sowie eine Hilfsgröße n, die mit unserem identisch ist, de-
° 1 ’ l/l 4- ’
1/1 + V
finiert. Es werden nun Kurven gesucht, die durch eine Relationzwischen T und p oder verwandten Gebilden definiert sind. Interessefür uns besitzt nur ein Scliolion 2 * ), das die Aufgabe enthält, aus einerGleichung zwischen T und R, also einer speziellen Gattung natür-licher Gleichungen die betreffende Kurve zu ermitteln. Landerbeckbenutzt zur Integration einen Hilfssatz
dB
HT
j/i -p
der sich leicht verifizieren läßt. Die Integrationen selbst bieten,weil au ganz speziellen Beispielen vorgenommen, keinerlei mathe-matisches Interesse. In einer Fortsetzung dieses Aufsatzes 4 ) ist aufdie Möglichkeit hingewiesen, aus einer Relation zwischen T und g
oder zwischen 11 und z die Gleichung der Kurve in x und y Koordi-
naten zu bestimmen. An die umgekehrte Aufgabe, eine gegebeneKurve durch eine Gleichung zwischen 7? und z darzustellen, ist inkeiner Weise gedacht: sind doch auch die erwähnten Probleme für
CT 7
Landerbeck nur Aufgaben unter vielen anderen und in keiner Weise
CT
ausgezeichnet.
Wir haben heutzutage für die Einteilung der Differentialglei-chungen außer den oben genannten noch andere Gesichtspunkte mehrfunktionentheoretischer Natur, wie die Art der Unstetigkeiten desIntegrals (z. B. ob fest oder verschiebbar), das Verhalten im Un-endlichen u. a. m. Derartige Untersuchungen kommen natürlich vorAusbildung der Funktionentheorie fast nicht vor, doch sei hier auf