Totale und partielle Differentialgleichungen.
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eine Stelle hei Euler 1 ) hingewiesen, an der gezeigt ist, wie einegewisse Methode der Integration durch Approximation infolge be-stimmter Unstetigkeiten des Integrals hinfällig werden kann. Es istspeziell von der Differentialgleichung
j, 2<lx(hj ffydx* ..dd >l+- x - *4 =°
die Rede, deren vollständiges Integral
V = A sin • + aj
ist. Hier geht, sagt Euler , während x von 0 bis iv. d. i. einer sehr
f
kleinen Größe, wächst, der Winkel + a aus dem Unendlichen ins
Endliche über, so daß sein Sinus inzwischen alle Zwischenwerte von+ 1 bis — 1 unendlich oft aunimmt.
Die Frage nach der Existenz der Integrale, die nach unsererAnsicht den speziellen Untersuchungen voranzugehen hat, existiertvor Cauchy überhaupt nicht. Einerseits war die Zeit für derartigkritische Fragestellungen noch nicht reif, andererseits mochte diegeometrisch oder physikalisch evidente Existenz der Lösung vonProblemen, die aus der Praxis genommen waren, die Überzeugungerwecken, daß auch der entsprechenden mathematischen Formulierungder Aufgabe eine Bedeutung zukommen muß. Indessen findet sichdoch, wiederum bei Euler , eine Überlegung, die, wenngleich mit derFrage nach der Existenz der Integrale in keinerlei Zusammenhangstehend, doch Cauchy nachmals bei seinen Untersuchungen genützthaben kann. Euler stellt nämlich an die Spitze eines Kapitelsseiner Integralrechnung, das speziell von der Integration durch Ap-proximation handelt 2 ), folgende Auslegung der Differentialgleichung
~ = T', wo V eine gegebene Funktion von x und y ist (s. o. S. 734):
Nimmt x der Reihe nach die Werte a, a, a", a", . . . an, so nehmen,wenn die Differenzen a — a, a" — a, ... sehr kleine Zahlen sind,y und V die Werte h, V, b", V", . . . bzw. A, Ä, A", A'", ... an, wodie a, b, A durch die Gleichungen
b' = b + A (a — «); b" = V + A’ (a" — ft') <
b"' = b" + A"(a'"-a")-, ...
verbunden sind. Euler hat also hier ähnlich wie Cauchy ein Inte-
*) Institutiones calculi integralis, vol. II, p. 355.p. 493.
*) Ebenda, vol. I, 1768,