Totale und partielle Differentialgleichungen.

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du und dfi enthält, so kann sie nur in der Art bestehen, daß derKoeffizient von dß, wenn man für x und y ihre Werte in u, ß und ueinsetzt, wie sie sich aus A = u, B — ß ergeben, eine Funktion vona und ß allein ist, d. h. es muß nach ausgeführter Substitution uvon selbst herausfallen. Setzt man also diesen Koeffizienten gleicheiner beliebigen Funktion f(u, ß), so geht die Differentialgleichungin die neue über

du + f(u, ß) dß = 0,die sich immer in der Form

F(u, ß) = 0

integrieren läßt. Ersetzt man endlich, sagt Lagrange, die Hilfs-variabeln a und ß wieder durch ihre Werte in x, y und w, so ergibtsich das Integral

F(A, B) = 0,

und F wird eine beliebige Funktion sein, da f eine solche ist. La-grange führt den analogen Beweis noch für den Fall von vier Veränder-lichen und weist darauf hin, daß er für noch mehr Variable in ähn-licher Weise erledigt werden kann. Lagrange betrachtet sodann 1 )den speziellen Fall

+ I’

d udy

+ z

d udz

• • • = S -f- 1 u f

wo X, Y, Z, . . . Funktionen der unabhängigen Variablen x, y, z, . .allein, S und T von allen Variablen außer u sind. Das System

Xdu - (S + Tu) dx = 0; Ydu - (S + Tu) dy = 0;

Zdu — (S -j- Tu)dz = 0; ...

liefert dann

Ydx — Xdy = 0; Zdx — Xdz = 0;

d. h. Gleichungen, in welchen u nicht mehr vorkommt. Hieraus er-hält man die y, z, . . . durch x und die willkürlichen Konstantenß, y, . . . ausgedrückt. Endlich ist

so daß man nach Substitution der eben berechneten Ausdrücke füry, z, . . . auch u durch x ausgedrückt erhält.

An die Abhandlungen von Lagrange aus den Jahren 1772 und

') Oeuvres de Lagrange, t. V, p. 554.