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Abschnitt XXVII.

Xdu — Udx = 0 und Yd u — Udy = 0,sind also A und B konstant, so ist

dA

du

du -f- r Ix + dy = 0

dx d ij J

und ebenso

dlid u

du +

dB

dx

dx +

dB

dy

dy = 0,

d. h. es müssen die Gleichungen

d A d A X dA Ydu ' dx U ' dy U

und

dB dB X dB Ydu ' dx U dy U

identisch bestehen, also auch wenn man A und B nicht mehr alsIntegrale, d. i. als Konstante, sondern als neue Variable auffaßt. Aus

den letztangeführten Gleichungen kann man aber sofort und dB° ° du du

berechnen; mit Hilfe der so erhaltenen Ausdrücke lassen sich dann

die Differentiale der Variablen u und ß in der Form schreiben:

da = ~ Yx (Udx - Xdu ) + r "dt i Ud y ~ Ydu ^

d ß - r d d l (l'dx - Xdu ) + dB (Udy - Ydu)\

daraus ergibt sich

Xdu - Udx l T da - ~~ dß) ;wo zur Abkürzung

d A dB dB d A y,

dy dx dy dx

gesetzt ist.

Lagrange führt jetzt diese Ausdrücke in die der gegebenenäquivalente totale Differentialgleichung

p(Xdu — Udx) + q(Yduein und erhält dadurch

Udy)

dA

dA

da

^ dx ^dydB

dB

dß = 0,

- 2 ;

dx

wobei der Faktor T, der, gleich Null gesetzt, unter Umständen aucheine Lösung liefert, stillschweigend fortgelassen ist. Da diese Diffe-rentialgleichung, fährt Lagrange fort, nur die beiden Differentiale