Totale und partielle Differentialgleichungen.

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T = o, II = b und V = c die Integrale dieser drei Gleichungen sind, soist V = <f (T, U) das allgemeine Integral der linearen Gleichung, d. h.eine zweite Relation zwischen x, y, z , p und q, die mit Z = 0 zu-sammen derartige Werte von p und q liefert, daß die Gleichung

dz = pdx + qdy

eventuell mit Hilfe eines Multiplikators integrabel wird. Man schreibtheutzutage seit Monge 1 ) etwas allgemeiner und übersichtlicher

dp dq dz dx dy

A + Cp = B -p Cq ~ Dp + Eq = /> = E

und wird so auf eine Relation zwischen x, y, z, p und q geführt, dieneben Z = 0 besteht.

Auf die Behandlung der linearen Gleichung mit drei Variablendurch Monge, die in einfachster Weise zu den LagrangeschenGleichungen führt, sind wir bereits eingegangen (vgl. S. 948).

Die lineare Gleichung mit beliebig vielen Variablen behandeltMonge nach derselben Methode 2 ): Zurückführung auf totale Glei-chungen mit Hilfe der Relationen, die partielle Differentialquotientenund totale Differentiale untereinander verbinden. Zunächst ist aufdie Gleichung mit drei unabhängigen Variablen u, x, y und der ab-hängigen Veränderlichen z eingegangen: hier ist

dz = pdu + qdx + rdy.

Die Differentialgleichung

Ap + Bq + Cr + D = 0

verwandelt sich dann, je nachdem man eine der Größen p, q oder rmit Hilfe des Ausdruckes für dz eliminiert, in eine der drei Gleichungen

Adz + 1)da = q (Adx — Bdu) + r (Ady — Cdti),

Bdz + Ddx = — p(Adx — Bdu ) + r{Bdy — Cdx),

Cdz -f I)dy = — p(Ady — Cdu) — q{Bdy — Cdx).

Diese Gleichungen dürfen die Größen p, q, r nicht bestimmen,sondern müssen unabhängig von ihnen gelten; durch Xullsetzen ihrerKoeffizienten erhält Monge sechs Gleichungen, von welchen aber nur dreiwesentlich verschieden sind. Lassen sich aus diesem System odereinem daraus hergeleiteten gleichwertigen drei vollständige Integral-

*) Application de l’analyse ä la geometrie, Addition p. 437. *) Histoire

de l'Academie des Sciences 1781 (17871, p. 159.