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Abschnitt XXVII.

gleichungen V = a, U=b und TU=c mit den Integrationskonstantena, b, c bilden, „so drücken diese drei Integrale zusammen (simultaneesjdasselbe aus wie die vorgelegte Differentialgleichung: sie bedeutennicht, daß die Größen V, U, TD jede einzeln konstant sind, sonderndaß, sobald eine davon konstant ist, auch die beiden anderen es not-wendig sind, oder daß diese eine von ihnen eine willkürliche Funktionder beiden anderen ist; demnach bedeutet die Gleichung

F= <p( U k TD)

dasselbe wie die gegebene Differentialgleichung und bildet ihr voll-ständiges Integral.“ Mit der Begründung: „Es ist leicht zu sehen, daßdie allgemeine lineare Gleichung mit beliebig vielen Variablen sichgerade so und mit Hilfe einer ähnlichen Überlegung behandeln läßt“,gibt Monge sodann kurz die entsprechende Integrationstheorie.

Hier sei angeführt, was derselbe Autor über die nichtlineareGleichung sagt. Die diesbezüglichen Ausführungen sind im Anschlußan die analogen Untersuchungen über totale Gleichungen höherenGrades gemacht (vgl. S. 940); Monge findet 1 ), daß eine partielleDifferentialgleichung nur dann nichtlinear sein kann, wenn 1. diewillkürlichen Funktionen im Integral in verschiedenen Potenzen Vor-kommen, oder 2. wenn die Argumente dieser Funktionen nicht un-mittelbar, sondern durch weitere Gleichungen gegeben sind, in denensie wieder als Argumente willkürlicher Funktionen und zwar nichtalle linear auftreten. Wenn man nun, sagt Monge im folgenden, inder Integralgleichung die verschiedenen Potenzen der nämlichen Größe,durch derenElimiuation die nichtlineare Differentialgleichung entsteht, alsebensoviele verschiedene Größen auffaßt und eliminiert, so wird diejetzt entstehende Differentialgleichung linear sein. Ist die Integral-gleichung selbst nicht gegeben, so handelt es sich einfach darum,aus der vorgelegten Differentialgleichung höheren Grades die ent-sprechende lineare Differentialgleichung, die natürlich höherer Ord-nung sein wird als die ursprüngliche, herzuleiten.

Sei nun die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung IU=0gegeben, wo TU eine Funktion von x, y, z, p und q ist. Durch Diffe-rentiation ergibt sich

A dp + Bdq + Cdx Ddy = 0,

wobei dz mittels dz=pdx-{-qdy eliminiert gedacht ist. Mongenimmt nuu willkürlich an, es sei etwa

Cdx + Ddy = 0;

l ) Histoire de l’Academie des Seienees 1784 (17 87), p. 167.