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Abschnitt XXVII.

gemeinerung für den Fall, daß v Dilferentialquotienten beliebiger Ord-nung enthält, und behandelt noch einige ähnliche Fragen unter derAnnahme, daß x nicht konstant, also dx von Null verschieden ist.Von den praktischen Beispielen, die Legendre untersucht, seien dasProblem des Körpers von kleinstem Widerstand, der Kettenlinie undder Brachistochrone erwähnt, Herleitung und Ergebnis der vorer-wähnten Kriterien sind bekanntermaßen unvollständig. Die ersten Be-denken äußerte Legendre selbst 1 ); in einer späteren Abhandlungsucht er die stillschweigende Voraussetzung, daß die Hilfsgrößen u, ß, yimmer reell bestimmt werden können, sowie die Möglichkeit, dieDifferenz

(a d y i + 2 ß d y Öp + y Öp*) a — (« ö y 2 + 2 ß Ö y dp -f y dp*)'

zum Verschwinden bringen zu können, durch Reihenentwicklungen zuerweisen; der Nachweis ist indessen für beide Behauptungen, vondenen die erste richtig ist, unzureichend. Den Haupteinwand hatjedoch Lagrange erhoben 2 ): das Integral kann das Vorzeichenwechseln, wenn auch der Ausdruck unter dem Integralzeichen diesnicht tut, wie an dem Beispiel

(1 — x)

ersichtlich ist. Das Theorem von Legendre gilt nur, solange derAusdruck unter dem Integralzeichen endlich bleibt; um aber darüberzu entscheiden, braucht man die Funktionen a, ß, y selbst, und dieErkenntnis ihrer Existenz allein genügt noch nicht. Immerhin be-deutet Legendres Versuch, die schwierige Frage zu lösen, und dieArt seines Vorgehens einen großen Fortschritt.

l ) Histoire de l’Academie des Sciences 178" ;1789), p. 348. *) Oeuvres,

t. IX. p. 303. Vgl. Ostwalds Klassiker a. a. 0., Anm. 12.