Variationsrechnung.
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druck unter dem Integralzeichen in zwei gleiche Faktoren spaltenläßt, wozu die Gleichung
(P + £?) Ji = ( V + «)*
erforderlich ist. Dann ergibt sich bei festen Integrationsgrenzenö j vdx = ( adir)° — (ccdy' 2 ) 1 + f Iidx (dp -j- ^ ^ “ dy j ,
und hierin kann man, da sich ja u aus einer Differentialgleichungbestimmt, also eine willkürliche Konstante enthält, u immer so an-nehmen, daß (aöy^f — (udy-y entweder Null ist, oder dasselbe Vor-zeichen wie Ji hat; daraus folgt aber, sagt Legendre , daß /vdxein Maximum ist, wenn
», ddv'* = idp*
negativ, ein Minimum hingegen, wenn dieselbe Funktion positiv ist.Legendre geht sodann zu dem Fall über, daß v eine Funktion vonX, y, p und q ist, wo *
dy = pdx und dp = qdy.
Die Variation der 1. Ordnung ist Null, die 2. Ordnung läßt sich autdie Form bringen
d I vdx = / dx{31 dy' 2 + 2 Xdydp -j- Qdp 2
4- 2 l’dydq + 2Rdpdq+ ,S'(Dy*i.
d fvdx = (ß dy 2 + 2ßäydp + yd p 2 )° — (ß d y* + 2 ß d y dp + y djr) 1
(d/+ ~)d,/+ 2 (N+ cc + d / x )dydp+2(P+ß)dydq+ (Q + 2ß + dp 2 -f 2 ( li + y) dp dq + Sdq*
Der Ausdruck unter dem Integralzeichen soll sich wieder in einQuadrat zerfallen lassen ; aus der Annahme, der Inhalt der geschweiftenKammer sei gleich
S(dq + udp + Idyf,
ergeben sich aber fünf Bedingungsgleichungen für u, ß, y, p, Manerkennt, daß bei ihrer Integration drei willkürliche Konstante auf-treten, die so gewählt werden können, daß die außerhalb des Integral-zeichens stehende Differenz Null ist oder dasselbe Vorzeichen wie Sbesitzt. Legendre schließt wieder, daß damit das Vorzeichen von Sfür die ganze zweite Variation maßgebend und für die Existenz einesMaximums oder Minimums entscheidend ist, gibt sodann die Verall-