472

ÜBER BILINEARE FORMEN MIT VIER VARIABELN.

Demgemäss wird:

7J 0 =^'(23 — 1) , S Q = W -f- ^ (2 8 — 1) (dd = ä,,d>d> 0) ;

d d

wo iv die am Schlüsse des vorigen Paragraphen festgesetzte Bedeutung hat.

§ 16 .

Setzt man die in den vorhergehenden drei Paragraphen ermitteltenWerthe von K, L, M, N, P 0 , Q 0 , P 0 , S 0 in die Gleichung (®) von § 12 ein,so wird:

Cl(A) = 20 + 4j?a) + 4(2^(d - a — 1) + 40>(z/)) -4 (w + 2^(2 a — 1)) •

Wenn nun, wie in meinem mehrfach citirten Aufsätze*):

W (z/) den Betrag bedeutet, um welchen die Summe der Divisorenvon A , die grösser als VA sind, die Summe derjenigen über-steigt, die kleiner als V~A sind,

so wird:

2{d-o)=W(A), 2^d=<l>(A)-W(A)-(yÄ) (rf0=4 , d>s>0) ,

d d

wo das letzte Glied (V A) wegfällt, wenn A kein vollständiges Quadrat ist.Führt man endlich die hier angegebenen Ausdrücke von (d— a) und JEdm den obigen Gleichungen ein, so resultirt die Hauptformel:

($) Cl(A) = 12 (®(A) + W{A)) + 2 TF a ,

in welcher Wj gleich Eins oder Null zu nehmen ist, je nachdem A ein voll-ständiges Quadrat ist, oder nicht.

*) Journal für Mathematik Bd. 57, S. 248.