286
Verwandlung der Figuren
2ter Fall. Wenn der Punkt d, wie in Fig. 209. und Fig. 210 wederan einer Seite» noch an deren Verlängerung liegt. Man ziehe eine unbe,stimmt lange Linie bdx, von b aus durch den gegebenen Punkt d; lege danndurch a eine Linie ax parallel mit der Grundlinie bc des Dreiecks, die dieverlängerte bd in x schneiden wird. Hierauf verbinde man die Punkte xund c und das Dreieck bxc wird dem Dreiecke abc gleich seyn, (beideDreiecke haben nämlich gleiche Grundlinien und Höhe) und der Punkt dbefindet sich auf der Linie bx oder deren Verlängerung. Es ist nun dashierauf folgende Verfahren ganz nach dem ersten Falle; man verbinde näm-d und c, zieh« xe parallel damit, verbinde dann d und e, wodurch sich dasDreieck bde ergeben wird.
II. Ein ungleichseitiges Dreieck abc Fig. 211. soll in ein gleichschenk.-liches verwandelt werden. — Man theile die Grundlinie ab in d in zweigleiche Theile, errichte die Perpendicularlinie de, ziehe ce mit ab parallelund dann die Seiten ae und be, so wird das gleichschenkliche A aeb dem umgleichschenklichen acb, als mit ihm gleiche Grundlinien und Höhe habend,gleich seyn.
III. Ein ungleichseitiges Dreieck abc Fig. 212. soll in ein gleichseiti-ges verwandelt werden. Man errichte auf ab das gleichseitige Dreieck abd,verlängere db nach e, ziehe durch c mit ab nach e die Parallele ce, hal-bire die Linie de in i und beschreibe hieraus den Haldzirkel efd, errichte inb auf ed die Perpendikulare bf, welches die mittlere Proportionale zwischenbd und be seyn wird. Von b aus beschreibe man mit dem Radius bl, denWogen fgb, und durchschneide denselben mit gleichem Radius von g aus inH. Zieht man nun die Linien gb und bh, so wird das verlangte gleichseitigeDreieck bgb sich ergeben.
IV. Ein Dreieck in ein Quadrat von gleichem Inhalte zu verwandeln.Man suche zwischen der Grundlinie und halben Höhe, oder der halbenGrundlinie und ganzen Höhe, die mittlere Proportionale, so wird diese dieSeite des herzustellenden Quadrats seyn.
V. Eine geradlinige Figur auf eine andere zu reduziren, die mit ihr glei-chen Inhalt, doch aber eine Seite weniger hat. — Es sey abcdea Fig.213. die gegebene Figur. Man ziehe die Diagonale ec und schneide dadurch«inen Winkel ab. Von der abgeschnittene» Spitze d ziehe man auf die ver-längerte bc, die df mit ec parallel, verbinde dann die Punkte e und fdurch eine Linie, wodurch man ein Vieleck ablea erhalten, wird, das demabcdea gleich ist, aber eine Seite weniger hat. — Wüßte man, daß in demzu verwandelnden Fünfecke die Seite ae mit bc parallel liefe, so würdezugleich durch dieses Verfahren die gegebene Figur in ein Trapezium ver-wanoelt worden seyn. — Die Gleichheit der beiden Vielecke, des gegebenenund des verwandelten, läßt sich sehr leicht aus der Gleichheit der Dreieckeerweisen; das der letzter» Figur zugewachsene Dreieck muß nämlich dem ab-geschnittenen gleich seyn. — Es kann mittelst dieser Aufgabe, ein jedes, ausnoch so vielen Seiten bestehende Vieleck, nach und nach, bis zu einem Drei-ecke gebracht werde», dessen Flächeninhalt dem Vielecke gleich ist, indemman aus jeder Figur immer eine andere fertiget, die eine Seite weniger alsdie vorhergehende hat. Soll z. B. das Vieleck abcdela Fig. 214 in ein Drei-eck verwandelt werden, dessen Spitze bei b, und dessen Grundlinie auf dieVerlängerung von ed fällt, so sd)neide man durch bd den Winkel bcd ab, ziehe,wie vorhin gezeigt worden ist, aufdieverlängerteedeineParallele mitbd. Hier-auf wird b und g verbunden und durch c das Sechseck abcdefa auf ein Fünf-eck abgela gebracht. Man ziehe hierauf die Linie ae, wodurch der Winkelale von der Figur getrennt wird, durch I lege man mit ae die Parallele fb,ziehe die Diagonale ab und aus dem Fünfecke abgela ist ein Viereck gewor-den. Endlich ziehe man auch noch die Diagonale bb und mit ihr auf die ver-längerte de, die Parallele ai, zieht man nun noch bi, so erhält man das Drei-