INTRODUCTIO.

xix

in qua exponentes frafti occurrant: eftne ideo evi&um, fun&ionem f(x- 4 -i)aequari feriei fx-f-pi + qi J +ri 3 -f etc.? minime: nihil enim aliud indesequitur, quam quod nullus exponentium a, b, c, etc. poffit effe fraftus,fi fun&io f(x-j-i) certae feriei formae fx + pi a +qi c +ri c + ete. aequetur;utrum autem re ipfa extet ejusmodi feries, nullibi demonftratum invenio.

ii. Eapropter, ut tyrones a primis vulgaris algebrae elementis adadaequatam diftin&iffimamque cognitionem principiorum calculi differen-do-integralis via breviffima ducerem, exposui in primo elementorumhujus calculi capite palmares fun&ionum proprietates, explicationemquefunftionum algebraicarum, logaritbmicarum, exponentialium et trigono-metricarum per feries methodo fimpliciffima docui; tum, qua ratione prin-cipiorum, de quibus in (io) erat fermo, veritas poteft evinci, in (6z 66-§.)offendi. Quod in specie ad theorema binomiale attinet, habes illud proquolibet exponente rationali et irrationali m in (;>.§.) methodo inventionisdemonltratum, ita ut adverfus hujus fimpliciffimae demonftrationis rigoremnihil poffit obiici. Cardo enim tetius demonftrationis in (n. Z.) confiftit,ubi generatim fuppofui, arithmeticam universalem ita efle excultam, utinde facile eluceat, cur pro omni exponente m, et quibuslibet quantis

U m u "\ ,n

u, v, debeat efie —-— — j : qui de hujus principii veritate du-

bitat, neque concipere poteft, quo modo id demonftrare liceat; praecipuaquaeque principia arithmeticae universalis, ut e. gr. a m b ra — (ab) ra ; a m a n

r=a m + n ,Logr m =rmlogr; log-j- = logr—logs; et similia in dubium

vocet oportet, quae utique nequeunt fubfiftere pro omnibus exponentibus,u m

quin fit e. gr. log —— log u'" — logv m =mlogu — mlogvt=m

log —“ — I > adeoque necelfario •

12. Hinc jam ad ipsam expofitionem principiorum calculi differentia-lis in fecundo capite progredior. Ante omnia expono adoptatas et me-thodo exhauftionis veterum consentaneas definitiones limitum pro quantiset rationibus variabilibus (68- 69- §.), ex quibus evidentiffime principiageneralia sequuntur, quae usque ad (78- §-) evolvo. Tum, praemifta de-finitione rationis differentialis (79. §.), affumtoque pro ejus exponentefigno fimpliciffimo, totus in eo occupor, ut illas rationum differentialiumproprietates generales paucis explicem et evincam, quibus universus

c 3 diffe-