172 HISTOIRE

composée de nombres premiers entre eux, et qui ne peut, par conséquent, se réduireà des nombres moindres : ce qui deviendra évident en faisant attention au théorèmesuivant, qui est très-facile à démontrer.

Supposons deux nombres premiers entre eux; l’un d’eux sera premier par rapporta lui-même ou à son multiple augmenté de l’autre de ces nombres; car s’il en estautrement, étant ainsi composé, il ne laisserait pas d’être la mesure de lui-même,mais il est la mesure d’une partie, c’est-à-dire de lui-même ou de son multiple; doncil sera aussi la mesure du reste : ce qui est absurde, les nombres étant supposés pre-miers entre eux. Ainsi, les nombres plus rapprochants de la proportion requise neseront pas moindres, mais plus grands que 206 et 7.

On comprend facilement qu’il vaut mieux commencer la réduction des fractions parcelle qui est immédiatement suivie de celle qui aura le plus grand dénominateur encomparaison de ses voisines, comme dans l’exemple précédent nous avons commencéla réduction par la fraction qui précède immédiatement j.

L’avantage de cette méthode s’étend encore à beaucoup d’autres cas, lorsqu’il s’agitde réduire une proportion quelconque exprimée en nombres à une autre qui enapproche de plus près, mais exprimée en plus petits nombres; comme lorsqu’on veutcomparer le rapport de la circonférence au diamètre à d’autres rapports connus, cerapport est 31,415,926,535 à 10,000,000,000. En faisant la division, on a :

3 + I

1 4- 1

15 4 ]

r+i

292 + 1

r+r

1

En commençant la réduction par la fraction -, on a le rapport d’Archimède de 22à 7; si on commence par -j-, on en trouve un beaucoup plus rapproché : c’est celuid’Adrien Métius , de 355 à 113; car 113 est à 355 comme 10,000,000 est à31,415,926, etc. On peut de la même manière trouver les rapports les plus rapprochésdu véritable. Mais celui de Métius est le plus commode pour l’usage, tant à cause de lapetitesse de ses nombres que de la fraction dès laquelle nous avons commencé laréduction. On tenterait en vain d’en trouver un semblable en cherchant d’autres nom-bres. Il faut observer que par notre méthode on trouve alternativement un terme deproportion plus grand ou moindre selon qu’on commence la réduction par la l re , la 3 e ,la 5 e fraction impair, ou toute autre fraction impair en suivant la progression. Ainsi,comme nous avons commencé la réduction précédente par la fraction ÿ, qui est la 3',le rapport de la circonférence au diamètre est comme 355 à 113; il est plus grand quele véritable. Si on eût commencé par la 2 e , qui est on eût trouvé 333 à 106, quiest moindre que le véritable. De plus, si l’on commence par la l re , qui est on trouvele rapport d’Archimède , de 22 à 7, plus grand que le véritable. Nous appelons rapport