DE L’HORLOGERIE. 173
véritable celui qui est exprimé par les grands nombres qu’on a pris et que nous pre-nons pour le rapport même de la circonférence au diamètre. La démonstration de toutce qui précède porte sur ce principe très-connu : qu’une fraction quelconque devientmoindre si l’on augmente son dénominateur, et devient plus grande si on le diminue.
Que le nombre résultant de la l re division soit A; qu’on ajoute aux fractions descen-dantes BCDEF, et
A B3 -H 1 C
7 + 1 D
15 + 1 E
1 -H 1 F
292 +J_
T
au dénominateur de la dernière F une fraction qui comprendra la réduction de toutesles fractions ultérieures et que nous appellerons Z; comme la fraction F est plus grandeque la véritable, ayant un dénominateur moindre que le véritable, qui serait 1 + Z ,en augmentant le dénominateur de la fraction E par la fraction F, la fraction réduiteE F sera moindre que la véritable. En augmentant encore le dénominateur de la frac-tion D, cette fraction réduite, celle qui résultera de la réduction des fractions DEFsera plus grande que la véritable, et par conséquent en augmentant le dénominateurde la fraction C, cette dernière fraction, résultant de la réduction des fractions CDEF,sera moindre que la véritable.
Il faut savoir que, si l’on veut connaître tous les termes les plus rapprochés de la propor-tion donnée, il faut faire la réduction de toutes les fractions du nombre impair, puis cellede toutes les fractions du nombre pair ; de telle sorte que, pour le dénominateur de chaquefraction qui sera plus grande que l’unité, on mette à part tous les dénominateurs depuisl’unité jusqu’à celui-là, et on commence et achève la réduction avec chacun d’eux. Si,dans l’exemple proposé, on met pour la l re fraction j chacune de celles-ci j, , j, j,i, j, on aura par la réduction des proportions plus grandes que les véritables : 4 à 1,7 à 2, 10 à 3, 13 à 4, 16 à 5, 19 à 6,22 à 7. En commençant par la 3 e fraction D, onaura le rapport plus grand que le vrai 355 à 113; et en commençant par la 5' F, ontrouvera le rapport trop grand 104,348 à 33,215. De plus, si à la place de la 2 e frac-tion on met quinze fractions séparées , 7, i , |, j , j , etc. , et à la place de la quatrièmerh toutes les fractions depuis l’unité jusqu’à ^7, on aura par les réductions des propor-tions toujours moindres que les véritables. Si l’on veut enfin connaître la série continuemixte des termes, tant de ceux qui offrent une proportion plus grande que de ceux quien produisent une plus petite, chacun desquels approche le plus près de la véritable,if faut avoir soin de mettre à toutes les fractions dont le dénominateur est plus grandque l’unité, non, comme on vient de le faire , des dénominateurs moindres que l’unité,mais en commençant par celle qui approche le plus de la moitié de son dénominateur.
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