VI

Die Linie C, wird nämlich von der Linie C" umschlossen; wenn nun die Figur durch die Substitutionu = ^ ^ verkleinert wird, so fällt, wie oben gezeigt, die der Linie C" entsprechende Linie in das Innere

von 17; umsomehr ist diess von der der Linie C, entsprechenden Linie C\ der Fall.

Die Figur U \ denke man sich nun durch die Funktion s\ (u\) auf die Fläche eines Kreises conform

abgebildet, so dass dem Punkte 0 der Mittelpunkt des Kreises entspricht und -, für = o reell und

ein i

positiv ist. Es ist dann

s’i (m’O = «i ((1 + fl ) u't).

Setzt man nun w 2 — u \, so ist für alle auf C \ liegenden Werthe von u,

mod ^4 kleiner als 1.

s,

s (u I ,

Nun ist — r-,— eine Funktion von mithin auch von s\, welche für keinen Punkt im Innern des

(Ml)

r S

Kreises s\ gleich Kuli oder unendlich wird; also ist log -4- überall eindeutig, endlich, stetig; der reelle

$ 1

Theil ist auf dem Bande des Gebietes von s\ beständig negativ, also gilt dieses für jeden inneren Werthvon s,, es ist also für u i — u\ der Werth von mod -f- kleiner als 1.

5 s

Nun ist mod — grösser, mod -4- kleiner als 1, für dieselben Werthe der Argumente u t =u 2 = u\ — u ;

$ i

folglich liegt mod s 2 bei gleichen Werthen der Argumente jedesmal zwischen mod s\ und mod s t , also mod —zwischen mod — und 1.

Der Unterschied zwischen mod — und 1 ist daher sicher kleiner als der Unterschied zwischen

«i

mod — und 1.

Um diesen Unterschied auszurechnen, ermittle man den Werth von

s'i s t ((1 +<?)«)

s t (u)

; wenn m = w,.

Um den Punkt u = o sei mit dem Radius ?, ein Kreis beschrieben; derselbe liegt ganz innerhalbder Figur U, also auch ganz innerhalb der Figur {/,.

Auf der Pei’ipherie dieses Kreises sind alle Werthe von s, dem absoluten Betrage nach kleiner als 1.In der nach Potenzen von u fortschreitenden Reihe, durch welche s, für die dem absoluten Betragenach p, nicht überschreitenden Werthe von u dargestellt wird, ist der Coefficient von w n gegeben durchden Ausdruck

1 n 2,t f fit ^ -n<9i

= 2^ J Q t P ‘ ß J 6 d *

Derselbe ist also seinem absoluten Betrage nach sicher kleiner als Der Coefficient a n ist positiv

und liegt zwischen — und 4-.

?1 ? 2

Nun ist — = Sl ^ — (■] _)_ d ) «n + an (1 + A) u + a, 3 (1 + < 5) 2 w 2 _+ • •

*1 («)

a n + a 12 u + a 13 w 2 +