VII

Pl

wo u , damit die Reihe im Zähler sicher convergire, dem absoluten Betrage nach kleiner als ^ g

genommen werden mag.

Dieser Ausdruck ist aber gleich

«i 2 + «u [(1 + ä) + 1] u -}- a u [(1 -f- <5) 2 + (1 + <J) +1] m 2 +

(1 + ö) ^ 1 +

<5 u

->

«11 + «12 M + «13 W 2 + * •

Es ist nun eine Grenze zu bestimmen, welche der absolute Betrag des Ausdruckes«12 4~ «iS [(1 ~t~ o) H~ 1] u 4~ «h [(1 + <?) 2 + (1 ~t~ ä) +1] « 2 ~f~ • •

«ii + «12 u + «iS m 2 + • •

nicht überschreiten kann, wenn der absolute Betrag von u eine noch näher zu bestimmende endlich«Grösse p 0 nicht überschreitet.

Der Zähler des obigen Ausdruckes ist seinem absoluten Betrage nach kleiner als^i^l + 2(l + <5)-^-+3 (1 + df ~ +4 (1 + <5) 3

wenn mit p <

Pi

1 ”t~ S 0

der absolute Betrag von « bezeichnet wird, oder kleiner als

1

1

Pi _ U+ ^P j

der Nenner des obigen Ausdruckes ist seinem absoluten Betrage nach sicher grösser als

P . P 2

oder als

Pi (Pi — ?)

Hierzu ist aber nöthig, dass p hinreichend klein sei, damit stets

O

positiv sei.

p, i pi — ?)

i

Die Grösse a u hatte sich oben als eine reelle positive Grösse ergeben, jedenfalls grösser als —.

? 2

Es werde nun p 0 so bestimmt, dass —^-- angebbar kleiner ist als —t-.

Pi(Pi-Po) ö P 2

Q ?1

Hierzu ist nothwendig und hinreichend das Verhältniss angebbar kleiner anzunehmen als ^ ?

geschieht dieses, so ist für alle Werthe von w, deren absoluter Betrag p kleiner ist als p 0 , der absoluteBetrag von

«12 ~f~ «i3 [(1 -f- 3) —|— 1] u 4~ «u [(1 H~ df -4~ (1 4~ 6) -f- 1] u 2 -f- • •

«u + «12 « + «u m 2 + • •

kleiner als

J_ _ _1__1_

Pi 2 Ci (1 + <5o) (io

0

Pl

f __ )

J ^ P 2 Pl ( Pi — Po)A

Dieses ist eine endliche positive von c und d unabhängige Grösse, sie möge mit bezeichnet

werden.

Hierin sind also p 0 und D endliche Grössen, die von d und e unabhängig sind.