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INTRODUCTION.

l’on se propose habituellement pour chacune !d’elles, !

Si nous avions un autre but que . cr

simplement ici le domaine de chaque science,nous devrions entrer, comme on le fait dansl’enseignement, dans des détails plus étendusrelativement il l’élude des courbes du seconddegré, et les prendre, comme on le fait avecgrande raison dans renseignement, comme sujetdes applications des méthodes de la géométriegénérale. Nous ne pouvons, sans sortir de notrecadre, entrer dans des développements pourlesquels nous sommes forcés de renvoyer à destraités spéciaux.

Insistons sur le point de vue tout à fait gé-néral que comporte celte partie de la science.Ainsi que dans la théorie générale des équationson ne s’attache plus, en algèbre, à aucuneéquation déterminée, de même il doit être del’esprit de la géométrie générale d’étudier, pourtoutes les formes possibles, tous les problèmesde relation de forme cl de mesure qui sontpossibles.

On peut, en ctTet, ramener les résultats del'étude des équations à deux variables et descourbes qu’elles représentent, il la solution daincertain nombre de problèmes. La marche àsuivre, dans chaque cas, constitue une théoriespéciale qui indique la manière d’opérer pourune équation quelconque. On distingue les onzethéories principales dont suit l’énumération, etqui se rapportent il l’élude des propriétés descourbes, il la détermination des lignes et despoints dont les rapports avec ces courbes peu-vent être remarquables :

1° Tangentes , ou droites ayant avec unecourbe un élément commun. — Nor-males ou perpendiculaires sur la tan-gente au point de contact.

2° Asymptotes, ou droites s’approchant dela courbe, mais nu la rencontrant qu’àl’infini.

3° Courbes enveloppes. — Lieu des inter-sections successives de toutes les cour-bes engendrées par une équationf\x, ij, a) — o dans laquelle a est unparamètre variable.

4° Courbures et développées. — Le centrede courbure d’une courbe est le centredu cercle, dit cercle oscillateur, qui adeux éléments communs avec lacourbe, et dont la courbure est parsuite la même que celle de la courbeau point commun. Ce centre de cour-bure se confondant par suite avec lepoint de rencontre de deux normalesinliniment voisines, le lieu des cen-tres de courbure se confond avec l’en-veloppe des normales ii la courbe.

5" Centres. Point tel que toutes les droites

qui y passent et rencontrent la courbeen deux points y sont divisées en deuxparties égales.

0° Diamètres. — Lieux des points milieuxd’une série de cordes parallèles.

7“ Axes. — Droites qui partagent une courbeen deux parties symétriques.

8° Foyers et directrices. — Points etdroites jouissant de propriétés spé-ciales surtout au point de vue dutracé des courbes.

9° Points singuliers. — Points séparés descourbes continues, etc.

10° Conditions nécessaires à la détermina-tion d’une courbe d’espèce donnée;

IP’ Similitude des courbes.

Deux autres théories complètent, au point devue fondamental de la mesure, l’élude, descourbes. Ce sont celles qui ont pour but :

1° La rectiticalion des arcs de. courbe;

2° La quadrature des surfaces planes enve-loppées par des courbes.

GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE A TROIS DIMENSIONS.

L’étude des surfaces se compose d’une suitede questions générales exactement analogues àcelles qu’on se propose en traitant des lignes. Iln’y a d’autre différence analytique que d’envi-sager des équations il trois variables au lieud’équations à deux variables, un point étant évi-demment déterminé par l’intersection de troisplans parallèles à trois plans qui se coupent.

C’est dans le grand ouvrage de Monge qu’ilfaut étudier la théorie des plans tangents, descontacts de surfaces, etc., pourapprécicr toute lagénéralité des méthodes analytiques, et en étu-dier notamment les applications aux surfacesdu second degré qui sont d’un emploi fréquentdans l’art des constructions. Nous donneronsseulement ici les résultats de la théorie relati-vement aux sections principales et aux lignesde courbure qui ont des applications pratiquesimportantes.

Kuler a le premier établi que, parmi toutesles sections normales faites par des plans pas-sant par un même point d’une surface et lanormale en ce point, on en pouvait distinguerdeux principales, dont la courbure, comparée acelle de toutes les autres, était un minimumpour la première et un maximum pour la se-conde, et dont les plans présentent celle circon-stance remarquable d’être constamment perpen-diculaires entre eux. 11 a fait voir ensuite que,quelle que lut la surface proposée et sans qu’il fûtmême nécessaire de la délinir, la courbure deces deux sections principales suffisait seule pourdéterminer complètement celle d’une autre sec-tion normale quelconque, a l’aide d’une for-mule invariable et très simple, d’après l’ineli-