254
Wasser UND W & R M E.
es einmal positiv geworden, niemals wieder negativ werden kann, so folgt,dafs bei den positiven Wertlien von x das y nur einmal = 0 werden mufs. —3) Es giebt auch endliche negative Werthe von x, zu welchen y negativ wird.Für diesen Fall ist y = v-— x __ 10 y ''~* /x — 10' _irx — f + 10 — ir ' x — Denn
es ist 10 x <j 10 x also — x (10^ : 10 x ) ein Verliältnifs, welches bei einemendlichen Werthe von x gröfser als ein jedes gegebenes Verliältnifs werdenkann. Wenn n jeden endlichen Werth bekommen darf, so ist, weil auchein solcher möglich, dafs n (10 x/ : 10 x< h 10^ zu 10^. Man setze die beidenVerhältnisse x (10 x : 10 x/ ) und — n (10 x : 10 x/ ) zusammen, wodurch ein Ver-hältnifs entsteht, welches bei immer gröfser werdenden endlichen Werthen vonx gröfser als jedes gegebene werden kann. Dies mufs um so mehr wahr seyn,wenn man statt — n (10 x : 10das gröfsere Verliältnifs 10^ : 10 M nimmt.Also ist 10 — ; io^“^ gröfser als jedes bestimmte Verliältnifs, und sei
= p : q. Eben so kann gezeigt werden, dafs IO'“'— X ' x : 10 — ®' x — ? gröfser alsjedes gegebene Verliältnifs seyn kann; es sei = p : t. Es ist daher io^ , — x ' x •’(IO 1 ** -xx + l0 — ,rx— ?/ ) = p : (q + l), wo p ;> q +1 werden, und bei’m end-lichen negativen x 10^ / ~ x/x >• 10 M ~ Xx + 10 -,rx_- t, um so mehr lO^ -x,x+ 10 —°’ x — P i0'“'~ xx -(- 10 — ’vx—j folglich negativ seyn kann. Aus derBetrachtung des negativen x erhellet, dafs einem gröfsern negativen x umso mehr ein negatives y, und einem kleinern negativen x um so wenigerein negatives y zugehöre, so, dafs wenn y hei dem abnehmenden nega-tiven x einmal positiv geworden ist, es nicht wieder negativ werden kann.Bei x —0 war y positiv, also kann y hei den negativen Werthen von x nureinmal 0 werden. — 4) Wenn x = — 00 wird, so heifst die Formel:
y=10'~ Xx — lo~ x ' x — lO - ^ + 10 — <r ' x , worin, weil 10 x ' <! 10 x <j IO 0- ' ^lO* -alle Glieder gegen —10 x,x verschwinden, und y negativ unendlich klein wird.
Es ist also gezeigt, dafs, wenn x = + 00, y ——00 ist, dafs bei den posi-tiven Werthen von x das y nur einmal o wird, dafs bei den negativen Wer-then von x das y noch einmal 0, und bei x = — 00, y — — l/io wird. Hier-aus folgt, dafs der gröfste negative Werth für y, der zu einem positiven xgehöret =—00 ist, dafs es wenigstens einen gröfsten positiven Werth von ygiebt, (nach nachfoFer,der Tabelle, wenn x zwischen 112 und H4 fällt)'linddafs wenigstens ein gröfster negativer Werth für y zu den negativen x gehört,(wenn x zwischen — 26 und — 23 fällt). Mit dieser Betrachtung stimmen auchdie gerechneten Werthe von y überein.