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Une courbe géométrique ne peut avoirplus á'asymptotes droites qu’il n’y a d’u-iiitésdans Pexposant de son ordre. VoyezStirling , Enum. lin. 3 ord. prof, vj. cor.7 , & Y Introduction à V analyse des lignescourbes , par M. Cramer , page 344, art.147. Ce dernier ouvrage contient uneexcellente théorie dei asymptotes descourbes géométriques & de leurs bran-ches , chap. viij.

Si l’hyperbole G MR ,fig. ir , est unedes courbes dont !a nature exprimée parl’équatíon aux asymptotes soit renfermée

dansl equationgeneralex y zx=a ;tirez la droite P AI, par-tout où vousvoudrez , parallèle à Vasympiote C S ;achevez le parallélogramme I J C 0 AI.Ce parallélogramme fera à l’espace hy-perbolique P AI G B terminé par la li-gne P AI, par l'hyperbole indéfinimentcontinuée vers G , & par la partie P B del 'asymptote indéfiniment prolongée dumême coté , comme m — n est à n.Ainsi lorsque m sera plus grand que» , l’espace hyperbolique' sera quarra-ble. Si )»=», comme dans l’hy per-bole ordinaire , le parallélogramme PC P M fera à l’efpace hyperboliquecomme zéro est à I , c’est - à - dire ,que cet espace sera infini relativementau parallélogramme , & par conséquentnon quarrabie. Enfin si m est moin-dre que n , le parallélogramme seraà l’elpace hyberbolique comme uu nom-bre négatif à un nombre positif, l'efMeeP M G B sera infini, & l'espace M PC E sera quarrabie. Voyez la fin du cin-quième livre des sections coniques de M.le marquis de l’Hopital. Voyez tíujjì unmémoire de M. Varignon imprimé eu1705 , parmi ceux de l'acad. royale dessciences, & qui a pour titre Réflexionsfur les espaces plus qu'infinis de M. Wallis.Ce dernier géomètre prétendoit que Peí-pace M P G B , étant au parallélogram-me comme un nombre positif à un nom-bre négatif, l'efpaceâE G B étoit plusqu’infini, M. Varignon censure cette ex-pression , qui n’est pas fans doute trnpexacte. Ce qu’on peut assurer avec certi-tude. C’est que l’efpace P AI G B est unespace plus grand qu'aucun espace fini,Si par conséquent qu’il est infini.

. four le prouver, & pour rendre la dé-monstration plus simple, faisons « = 1,

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& nous aurons l'équation x m y >l zz = 1 ea_>«

y = x ~f,(V. Exposant ). Doncydx, élément de Paire P AI G B_ m

x sjdx, dont Pintcgrale (V. Iht&~

— — + 1

gral) est

n

in ; pour complé--b 1

n

ter cette intégrale, il faut qu’elle soit =so lorsque x — o ; d’où ii s’ensuït que

m ,

o~“ + I

Piutégrale complété est —

- — + 1!>

-* + I

+ m - Donc, r°. Si j» < n ,

— T + 1

on a 1 — — égal à 1 ne quantité positi-

ve. Ainsi Pintcgrale se réduit à '

ï«

qui représente l’elpace E C P M‘, d’oùl’on voit que cet espace est fini tant que 2est fini, & que quand x dtvient infini,l’efpace devient infini aussi. Donc P es-pace total renfermé par la courbe & sesdeux asymptotes , est infini ; & commel’espace A - C P ^ 7 /est fini, il s’ensuit quel’cspace restant P AI G B est infini.

II n’y a que l’hyperbole ordinaire oùles espaces FAIGB , ECPAI, soient tousdeux infinis; dam toutes les autres hy-perboles Pun des espaces est infini & Vau-tre fini ; l’espace infini est P AI G B dansie cas de m < n , & dans lc cas de m > »c'eíìPAI CE. Mais il faut observer deplus que dans le cas de m < » , l’eipacainfini PAIGB est plus grand cn quelqueminière que celui de l’hyperbole ordi-naire , quoique Pun & Poutre espacessoient tous deux infinis; c’est- îà fansdoute ce qui a donné lieu au terme plusqu infini de M. Waìlis. Pour éclaircircette question , supposons C P = 1 & PAI = 1, & imaginons par le point Aïune hyperbole équilatérale entre les deuxasymptotes C B , C E, que je supposé faire