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áeux, parce qu’elle s’étend à l’înftnt <'(ucôté des x positives, & du côté des xnégatives. Introduction à Vanalyse des li-gnes courbes par M. Cramer.

On appelle branche infinie nnc branchede courbe qui s’étend à l’intini.

L’hyperbole & la parabole ont leslaranches infinies. Mais le cercle & T el-lipse n’en ont point; ce sont deux cour-bes qui rentrent en elles-mêmes.

Les branches infinies d’nne courbe font©U paraboliques ou hyperboliques.

Les branches paraboliques sont cellesqui peuvent avoir pour asymptote unearabole d’un degré plus ou moins élevé,ar exemple, la courbe dont l’équation

ferait y =“+ ~ , aurait une bran-che infinie parabolique , qui aurait pourAsymptote une parabole ordinaire dont

l’équation seroit y = En eísct xétant infinie, l’équation se réduit à v^—^ qui est celle de la parabole ordinai-re. De même fi l’équation étoit y —p , on trouverait que la bran-che infinie auroit pour asymptote uneparabole du troisième degré y = —.

Les branchés hyperboliques sont cellesqui ont pour asymptote une ligne droi-te; elles peuvent auffi avoir pour asymp-tote une hyperbole d’un degré plus oumoins élevé. Par exemple , la combe

XZ. b z , . ,

y e a u - - ■ t — dont nous venons de par-ler, se réduit à y = ^-lorsque o ,

elle a pour asymptote l’ordonnée infiniequi passe par lVigine, & elle peutavoir auffi pour asymptote l’hvnerboleordinaire.

De même la courbe y —=— 4 - ^3 aa ì xz

pour asymptote l’ordonnéc infinie, quipasse par le point où x = o ; & elle aauffi pour asymptote une hyperbole cu-bique.

II est visible que tontes les branchesinfinies sont ou hyperboliques 011 parabo-Xques. Car soit dans l’équation d’nrft

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courbe y exprimée en x par une fériedont tous les. termes soient réels, il estévident que quand x fera infinie ou in-finiment petite, toute cette équation se

réduira a y = x , tous les autres ter-mes étant alors regardés comme nuls.Or, la branche fera parabolique , si m.est positif L plus grand que i , & hy-pe-bolique, si m est négatif, ou o, ou r.Voyez SERIE.

Áu reste il ne faut pas croire que cette

équation y c=x m qui détermine fi unebranche est hyperbolique ou paraboli-que, soit fusillante pour connoître lenombre L la position des bronches. Par

exemple , soit y = ^ « x ; en

faisant x infinie , on a y = , & l’on

voit que la branche est parabolique. Deplus, on est tenté de croire que cettecourbe aura comme la parabole deuxbranches infinies , l’une du côté des .r po-sitives, l'antie du coté des .r négatives.Mais on si toit dans ì’et reur, si on le pen-sait; car x étant négative, l’ordonnée j~;

~ + Vm fera imaginaire. On peut

bien négliger V ~x vis-à- vis de — ,

lorsque V ax & — sont tous deux

réels : mais lorsque V «x devient imagi-naire , alors ce terme V b x rend imagi-naire — , & on ne sauroit conservera 7

l’nn sans l’autre. Je fuis le premier quiai fait cette remarque. Voyez les Mé-moires de l’académie royale aes sciences dePrujjé , année 1746. Voyez aujji Re-BROUSSEMENT.

On trouvera une théorie très-completedes branches infinies des courbes dans leviìj chapitre de l y introduction à Vanalysedes lignes courbes , par M. Cramer. 11 ydonne :a méthode de déterminer les dif-férentes branches d’une courbe, & leursasymptotes droites ou courbes. Commecette théorie nous conduiroit trop loin,nous renvoyons là-desi’us à son ouvrage.On trouve auffi d’excel lentes choses lu.rF fa