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quantité algébrique rationnelle !» X -f- r

.ct- t il’un degré quelcon-que , est réductible ou en facteurs sim-ples , tels que x ct- a , ou en facteurs tri-nômes , tels que x x ct- b x ct- c ; a ,b ,cétant des quantités réelles. C'elt ce quepersonne avant moi n’avoit démontré ,& ce qui étoit nécessaire, pour rendrecomplets la méthode d’intégrer les frac-tions rationnelles différentielles.On peutvoir cette démonstration dans le Traitédu calcul inté%rai de M.de Bougainville,partie II. 2°. J’y donne le moyen deréduire à des fractions rationnelles unegrande quantité de différentielles quiRenferment dfs radicaux. On peut auffivoir cette méthode dans l’ouvrage queje viens de citer, ainsi qu’une méthodeparticulière pour intégrer les firaítionsrationnelles, & pour démontrer la mé-thode de M. Bernouilli ; méthode quej'avois prélentee à Tacadémie des scien-ces en 1741, avant que d’avoir f hon-neur d’y erre requ. Cet ouvrage de M.de Bougainville contient (Bailleurs leprécis de tout ce que les auteurs citésont donné de meilleur fur cette brancheimportante dn calcul intégral. EoyezIntégral ^Imaginaire. (O)

On lira avec fruit l'article suivant suries fraisions continues.

Fractions continues , Algèbre.C’elt à mylord Ërounker qu’est ilíiel’invention de cette efpece de féiies. IIdonna par ee moyen une valeur approchée du rapport de la circonférence ducercle au rayon.

Huyghens a perfectionné cette théo-rie , qu’il vouloit appliquer à la mécha-nique pratique. MM. Euler & de laGrange s’en font occupés depuis avecsuccès, & le dernier l’a très heureuse-ment employée , soit aux méthodesd’approximation pour les équations dé-terminées , fort aux problèmes indéter-minés. M. Waring s’en est auffi servipour le même objet.

Voyez Introduííio ai analyjìn infini-torum (M. Euler.); Meditationes alge-brincu: (M. Waring.) ; les Mémoires deF étersbourg , tortie XI, (M. Euler.);ceux de Berlin, tour. XXIII L XXIV,(M. de la Grange.) ; & les additions à latraiuitíon française des éléinens d'algebrtde M. Euler. (M. de la Grange.)

F R A

1°. On a donné le nom de fraction con-tinue à ['expression act----—---

ict-

C -f

d ct-JL

e *

fcfc. qu’on volt être générale , si on re-garde les nombres b, c, ri, fe? c. commepouvant être fractionnaires, si la férieest numérique ; L comme des fonctionsquelconques , si elle est algébrique.

Si on s’arrête au premier terme, !avaleur de cette expression est a , si ail

fécond elle est —Ì— , si au troisièmeb

.. - a b c ct- a ct- c „ , , ,

elle est ——'— , & en général pour

un terme quelconque. Si on appelle P lavaleur du terme précédent, après y avoirsubstitué b pour a , c pour b , ri pour c,& ainsi de fuite, elle est exprimée paraPct-i „ „ M

—p—, & comme P —- , nous ai>-

4 . , «Mct-N

ronsee terme exprime par -. On

trouvera encore que si on désigne les va-leurs successives de lu fraction continueA A A „ .

p B ’ F’ F’ ^ on aora cn Re -néral AB' — A'B ; a'B" — A"B , &c

= ct- alternativement & commençantpar le signe —.

2°. Cela posé, il est aisé de voir quesi on appelle x , x , x", x £fc. les va-leurs successives de la finition continue,on aura fa vraie valeur égaie à la férie xct- (xf — x) ct- (x n — x’) ct- {x'" — •x"')

£ífc. dont le terme général ÌTyj~~'jyj »

étant la valeur de M dans le termeprécédent, & le signe ct- ayant lieu pourles termes 1,2,4, 6,8, Uc. & le signe

— pour les termes 3,5,7, &?c.

3 0 . Si donc nous avons une férie rc=A

— B = C — D ct- E , Sj’c. & que nousvoulions la réduire enf'aítioncontinae r

nous aurons A = « ct- -p,B = ~—,-

b b.be+ 1»

C — ;-- ;—-r-r-7, & ainsi de

ècct-l. L c ri ct- éct- ri '

fuite , d’où l’on volt que l’on a b , c , ri,Êfc. par les équations linéaires , & parconséquent la férie continu» cherchée.