LEIBNITIJ ET BER^NOULLII, Epist. lv. 297

stagnante expansi, qua? Centro gravitatis liquoris concedat locuminfimum. Si jam concipis liquorem dividi in filamenta parallela Jun.verticalia; quae sint, vel fingantur potius, gravata, in applicata-rum ratione vel simplici, [ ut in ordinaria lintei figura ] vel dupli-cata , vel triplicata, &c.: evidens est Centrum gravitatis omniumistorum filamentorum, seu totius liquoris , distare a basi horizon-tali [suppositis applicatis verticalibus x, & horizontalibus y & nume-ro potestatis in cujus ratione filamentum liquoris supponitur grava-tum , n — 1 : ipsa autem quantitate liquoris L ] s( x n d y : L ).

Distantia vero haec est maxima; ergo etiam sx n dy est maximum rErgo curvatura lintei continentis liquorem cujus filamenta verticaliasunt gravata in ratione potestatis n — 1 ipsarum applicatarum ver-ticalium , est eadem quae foret curva ex omnibus Iloperimetris quae-sita ; cujus applicatarum ad potestatem n elevatarum summa pro-duceret maximum. Ex hoc fundamento reperi pro natura curvae

y = f C( b n + x n ) dx: \/ (— ( b n + x n y ) ), vel contrac-tius, ponendo pro b, quod arbitrarium est, o,y^=sQx n dx:

V (* 2H — * 2 U )). Quod autem haec exprestio simplicior reddi

postit, faciendo z—x n , unde y ~sz » dz: n n '—-d )) y

id mihi jam innotuisse ex eo potes colligere, quod in procedenti-bus meis determinaverim casus quando evadit absolute summabilisquando requirit extensionem arcuum Circularium, & quando ne-que summabilis neque circulabitis est; nempe si n est fractio, vel,.

quod eodem redit, si est numerus integer impar, habebuntur

casus primi; si — est numerus par, habebuntur casus secundi; fi ve-ro n est numerus integer habebantur casus tertii; hanc autem re-

I

ductionem s(x n d x: \/ ( a 2n — .v 2 ”)) ad sz » dz : n\!Qa 2n — z 1 )')consuito celabam, ut limitatio horum trium casuum tanto mirabi-lior appareret; loco quod per alteram exprestionem aititicium ipse.'

Tom. L P p dete-