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cercle , qui roule sur son diamètre , produit Iune courbe quatruple de son diamètre.

2°. La développée del 'Epìcycloide est qua-truple de (on axe.

}°. La courbe de Y Epìcycloide est triplede sa développée.

4°. La courbe de Y Epìcycloide est douzefois plus grande que la moitié de son cer-cle générateur , ou six sois plus grande quele diamètre lur lequel ce cercle roule.

5°. Le raïon du cercle immobile est qua-trième proportionnelle du sinus de l’incli-jiaison des plans des deux cercles au sinusrotai Sc à la distance des centres des deuxcercles.

6 °. La dcmï-Epicycloidc est au double dudiamètre du cercle générateur, comme ladifférence des raïons de ce c rcle & du cer-cle immobile est au raïon du cercle mo-bile.

7°. Chacun des arcs de Y Epìcycloide està l’absciffe correspondante , comme la tan-gente du cercle mobile Sc de i’immobile ausinus total. Il est bon de remarquer ici quecette propriété est une des plus belles deY Epìcycloide. Elle est du moins bien singu-lière , Sc elle l’est tanc, que M. Bcrnoulli nepense pas qu’aucune courbe puiffe Lavoir,c’est-à-dire > qu’aucune courbe, pctse indéfi-niment , puiffe être en raison donnée avecson arc correspondant.

8°. La courbe de Y Epìcycloide est qua-druple de son axe , de même que la courbede la développée est quadruple du sien ,

& l’axe de Y Epìcycloide est à Taxe de ladéveloppée, comme 1234, ou comme 3à 1.

9°. L’aire de Y Epìcy clóide comprise entresa courbe Sc le cercle immobile est au cerclegénérateur, comme 14 est á 1.

io°. Ajoutant l’aire du cercle immobile,qui est à celle du cercle mobile comme 16 3.est à 1, l’aire entiere de Y Epìcycloide seraà l’aire de son cercle immobile comme 32 àï > Sc à celle de l’immobile comme i y à 8.

it°. La longueur d une partie quelcon-que de Y Epìcycloide , décrite par un pointquelconque du cercle roulant, depuis l’en-droit où ce point touchoit le cercle fur le-quel il roule, est au double du sinus versede la moitié de Tare quj a touché pendantrout ce tems le cercle immobile, comme lasomme des diamètres des'cercles est au de-mi-diametre du cercle immobile, pourvuque le cercle roulant íe meuve sur le côtéconvexe du cercle immobile. Mais si la ré-volution se fair sur le côté concave, c’est-à-dire , si Y Epìcycloide est inférieure , cetteniême longueur est au double du même si-

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nus verse , comme la différence des diamè-tres est au demi-diametre du cercle immo-bile.

l. M. Bernoulti, à qui le Public est redeva-ble des principales propriétés que je viensd’exposer, conçoit la génération de YEpìcy-cloide d’une maniéré très-élégante. On verrafans doute avec plaisir l’idée de ce grandGéomètre. Imaginant dans la sphere célestesécliptique, qui dans le point le plus bastouche le tropique du capricorne , failantavec son plan un angle de 23 0 5. M. Ber-noi.li luppoíe que la sphere Sc ['écliptiquedemeurant immobile , l’écliptique se meuten tournant lur le tropique , tandis que cha-cun de ses points, celui, par exemple , quiest au commencement du capricorne , décritY Epìcycloide qu’on demande. Ou autrementil luppoíe , que la sphere entiere avec tousses cercles, conservant entr’eux la mêmesituation , se meut d’un mouvement unifor-me autour de l’axe du monde d’Orient enOccident, pendant que quelque point, par-tant du tropique du capricorne, s'avanced’un mouvement propre Sc uniforme d’O-rient en Occident, avec une vitellè unifor-me & égale à celle d’un des points du tro-pique. De cette façon, ce point mobile del’écliptique décrira la même Epìcycloidequ’auparavanr. Il faut voir l’analogie & lesconclusions que tire de-là M. Bcrnoulli pourle mouvement du soleil, si l’on veut goûtertout le prix de cette génération.

Le même Auteur .enseigne la descriptionichnographique de Y Epìcycloide sphérique,c’est-à-dire, la manière de déterminer la courbe de projection dans un plan , & cela en ab-baiffant de chaque point de Y Epìcycloide desperpendiculaires fur le plan du cercle im-mobile tonsidéré comme la base. ( BcrnoulliOpéra , Tom. III. N°. CXLII. )

Après la découverte de la cycloide , cellede Y Epìcycloide n’a pas dû coûter. Quand ona déterminé la courbe que forme un cercleen roulant fur un plan , il est ailé d’imagi-tier celle quis’engendre par la rotation d’uncercle fur un autre. Ce n’est pas auffï là ouj’en veux venir. Je prétends faire connoîtremaintenant les personnes qui en ont décou-vert les propriétés i Sc ils mentent bien notreattention.

M. P~omer est le premier qui a remarquéque Y Epìcy cloide est la meilleure figurequ’on puiffe donner aux dents des roues,pour la liberté du mouvement. M. de laHire est le premier qui a écrit un Traitéparticulier fur cette courbe , ( Vo'ie{ ses Mé-moires de Mathématique & de Phyjìque ) oùil en démontre plusieurs propriétés, Le son