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gré) contiennent plusieurs inconnues , Tor-dre Sc la méthode qu’on doit suivre pourles faire évanouir , consiste à substituer &à comparer ensemble les Equations particu-lières de chaque inconnue, pour en con-noîtrelçs valeurs.

i°. Premiere réglé. De lasubstitution, Sup-posons que Ton propose de trouver quatrenombres dont le premier le lecond Sc letroisième pris ensemble fartent 20 -, le troi-• siéme Sc le quatrième 22 ; le premier, letroisième Sc le quatrième 2.4 ; le premier,le second Sc le quatrième 27. En nommant•* {y te, les quatre nombres inconnus &u , b , c , d , les quatre nombres connus 20,22 , 24 , Sc 27 , on trouve d’abord ces qua-tre Equations données par les conditionsdu Problème,

x - 4 - y -t- ^ = a : x -f- £ - 4 - u = cy-*- l u — b : x+y-ï-u—dComme on a quatre Equations Sc quatre in-connues, le Problème,ou T Equation généra-le , puisqu’il s’agit ici d 'Equation , est déter-minée. Pour la résoudre par la substitutionon cherche d’abord , dans chaque Equation ,la valeur de Tinconnue, par la méthode pré-,ccdente, d’où Ton tire ces quatre Equations :* = *—y — ? : y — b — {—u

^ = c - x — u : u = d - y - x.

Il est libre de choisir Y Equation qu’on vou-dra d’abord résoudre parmi ces quatre. Jecommence par celle de x = a—y — { ,Sc à cette fin , je substitue à la place de_y savaleur b—.£—u : ce qui donne x = a —

— b 1 ->r u — Et comme + { — {se détruisent , YEquation est réduite àx m = a — b - 4 - u.

2°. De mème substituant à la place de usa valeur d—y — a-, trouvée dans la qua-trième Equation , on a x = a — é - 4 - d —

— x —.

z". Continuant à substituer à la place dey sa valeur b — { —u , sans toucher à a ,destiné à palier au premier membre de YE-quation , on a x = a - b -\-d — x — b

- 4 - { -+- u. *

4°. Reste à substituer lavaleurde ^ = c —

— x—u pour avoir enfin cette derniere

Equation , x = a -2 b -H d -a -t- c-

— a — u -4- u. Ou plus brièvement a —= a — 2i + i/ — 2 r + c ; parce que- 4 - u — u se détruisent.

Cette derniere Equation ne renfermequ’une seule inconnue a, avec toutes lesconnues <2, b , c , d. Donc ce Problème estrésolu à une opération près : c’est de fairepalier — 2 a dans l’autre membre de YE-quation avec des signes contraires. On a donccette Equation , où Tinconnue se trouve feu-

e q v

le d’un côté , ix=a — ib-*-d-bc. Orla division détruit la multiplication ; a est icimultiplie par 3. Il n’y a donc qu’à faire pas-ser 3 dans Tautre membre qui le divisera.

t- . a — 2 b — c -W ...

Ecrivant a —-Tinconnue

2

x est connue. Car substituant à la place dea , b, c ,d leurs valeurs 20, 22,24, r>7, on a20 — 44-4-24-4- 27- - ---- — 9.

5 0 . Par le moïen de cette valeur de a r& en suivant la mème méthode,on trouve-ra les autres inconnues. Par exemple,u = d —a—j-deviendra u = d —9— y.Et substituant la valeur de y, on aura

u=d -9-é - 4 - ( - 4 - tt ; ensuite celle

de {,on aura u=d -9- b - 4 - c -9——

— u - 4 - u : ou u = d -18- b 4 - 4 - c =

27- 18-22-4-24—11 : ainsi des

autres.

La seconde réglé est celle de la comparai-son. Je veux dire, qu’en comparant toutesles valeurs d une inconnue qui se trouvedans plusieurs Equations , on fait évanouircette inconnue, Sc Ton parvient à avoir upeEquation qui ne contient qu’une feule in-connue. L’exemple suivant va servir au dé-pouillement de cette réglé.

i°. La premiere Equation donne x=a —-

-— y -£. La seconde, a = c -£- u

Sc la quatrième, a = d - y - u. Donc

a - y -—-(—c.—{—- ï - u:

ce qui fait évanouir a, & réduit ces Equa-tions à ces trois membres égaux.

Pour faire évanouir maintenant y il fautprendre fa valeur dans la troisième Equation,dont on n’a pas pû se servir. Cette valeurest y = b - 1 - u. Après avoir en-

suite cherché dans les trois membres égauxtoutes les valeurs de y , on trouve encomparant le premier membre au second

a - y - £ = c -— 1 - u. Donc

a -= c-«.Donc- c - u - a.

Donc y= —4 u -+ a - c. En changeant

tous les signes de part & d’autre ( ce qui nedétruit pas Légalité ) & en comparant le se-cond membre avec le troisième, on a ce résul-tat d y=c { Sc —v —c 1 d.

Donc y = ^ -4- d - c. Ces trois valeurs

réunies] ensemble donnent b - { - u =

= u -+ a - c = 1 -+ d - c. Par ce more»

Tinconnue y a disparu.

Si Ton compare de mème ces trois mem-bres ensemble , on fera disparoître z. Carle premier membre comparé au lecond don-ne -{==2 u -4 a - c - b, Sc[ =b -*•

-+ c -— a -2 u. Le premier membré

compaié au troisième donne 2 ? = b -—