E QU

b - -11 - d -f C.

U - d~ìr C, ÔC 7 = ----

1

Le troisième comparé au deuxième donne^ = u-+-a — d. De ces trois valeurs de

b -— u — d -3- con tireé-Hc— a — i a= . .

== k -H a — d.

Enfin, commeces trois derniers membres necontiennent que ['inconnue u , on en trouvera la valeur aisément par les méthodesexposées au commencement de cet Article,en prenant les deux membres , que l’on vou-era choisir , comme le premier 6c le dernierqui donnent ; u = b c —— i a - 4 - d , &C

b -‘r- c - i a-¥-d.

u =-C est par ces me-

}

diodes qu’on réfoud toutes les Equationsdu premier dégré.

Equations du second degré. Sont celles ,comme je l’ai déja dit, où ['inconnue estélevée à la seconde puissance. Et comme pourdégager cette inconnue, il est nécessaire.d’extraire la racine quarrée du premier termeJe l ’Equation , ainsi que du lecond ; il est«vident, que toute Equation qui est quarrée,-est facile à résoudre , puisqu’il ne s'agitque d’extraire la racine de part 6 c d’autre.On a, par exemple, ar x •■+■ z ax-\- a a == 64. En extradant la racine de part &d’autre,on aura x -+- a= 8, ou a; = 8 — a.-Cette vérité nous conduit à un principe quisert pour résoudre les Equations du second4 égré qui ne sont pas quarrées. Voici enquoi il consiste.

Si l’on a un binôme a: -+- a , dont le pre-mier terme x est une quantité inconnue,le second a une quantité connue , &c qu’onéleve ce binôme à la seconde puissance , onaura arar- 3 - z a x -+- a a ce qui forme troistermes , dont le premier terme est le quartéde la quantité inconnue ; le second , unproduit de la quantité inconnue par ledouble de la quantité connue; & enfin le•troisième est le quarté de la quantité con-nue. Ce double z a du second ternie s’ap-pelle Coefficient du second terme. En géné-ral , on donne néanmoins ce nom à toutqquantité connue, qui multiplie une incon-nue dans quelque terme que ce soit d’uneEquation. Or il est clair que si l’on prendia moitié du Coefficient du second terme ,1.cette racine se trouvera précisément la ra-cine du troisième a a. De-là il suit, que-pour rendre toute Equation du second degréà une formule bien simple , il suffit de pren-dre la moitié du Coefficient du second ter-,me » qui étant élevé à la féconde puissance,,

EQU Z47

donne le troisième terme. Ainsi , pour ré-soudre une Equation du second dégré, doncle premier terme n’est pas un quarré par-fait , il faut prendre la moitié du secondterme. Cette moitié , étant élevée à la secon-de puisiànce, quartera le premier membrede cette Equation Ensuite ajoutant cettemoitié du coefficient, ainsi élevé , dans lesecond membre ; les deux membres fe trou-vent quartés , & on n’a plus qu’à en extrairela racine pour résoudre l’ Equation .

Equations du troisième decré. Je l’ai dit *Ces Equations font celles où la puisiànceest élevée à la troisième puissance. Abré-geons, i°. lorsque le* Equations du troisé-me dégré n’ont ni second ni troisième terme,c'est-à-dire, qu’elles ne font point affectées,elles n’ont aucune difficulté. Par exemple,dans cette Equation £ 3 =^, il est évident

que 1 = 'sq , Sc qu'ainsi pour trouver lavaleur de 4 il n’y a qu’à extraire la racinecubique de q.

z°. Quand une Equation du troisième dé-gré a tous ses termes , il faut faire évanouirle second , comme il a été dit ci-devant. Orles Equations de ce dégré qui n’ont point desecond terme , se réduisent à ccs quatre for-mules : ff-t-p { 4 -j=o, —p { -t-<7 = g ;

ï + ffl —.?=Pi l — PI — q=fo.

Soit maintenant ^ ■+■ p £ -+- q Y Equation,du troiffième dégré , qui n’a point de second

terme, qu’on prenne £ = a:-y (il fau-

droit prendre £-*- > y, si Y Equation avoir

-- p l) ■> on aura le cube de 1 égal à celui

de x - y. Ainsi = ar 3 -3 x x y —t*

-H; x yy — y } - Mais — 5 xxy-\- 3 xyy==a

=-3 xy x x - y ; car éc rivant au lo ng

le produit de -3 a; y par x - y, il

vient 3 x xy 3 xy y. Et puisque a--

-- y=£, on a - 3 xy x x —— y =

=■-3 x y x ^ s= 3 xy ç. Après cela on

met dans Y Equation précédente £ 5 = x 3 -

-3 xxy -t- 3 y y ~ —y 3 , à la place de

--3 x xy 3 xy y , la valeur-3 xy{.

Y Equation est réduite à celle-ci £ j =a.- ; -

-3 x y {- y'. Transportant tout d’un

côté , il vient ^ -+ 3 x y { y ! --~ x'' = o.

Enfin il reste à comparer cette derniereEquation terme à terme , avec la proposée■T _+ P í ? == 0 > & Y Equation sera ré-solue.

11 ne saut point le dissimuler : ce reste,tout reste qu’il est, est encore un-grand travail.Ausii je ne prétends pas qu’avéc les lumiè-res que je puis donner fur les Equations dutroisième dégré , on soit en état de refondreces sortes d ’Equations lorsqu’elles seront ua

X * ij