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île nombres qui demande beaucoup de peine.D’abord on prend la progression géométri-que d'r à 10 , 100, &c. & la progressionarithmétique de oooooooo , ou de plus dezeros encore, íì l'on veut, a 10000000,2ooooooo, &c. De maniéré que zero est leLogarithme de l’unité; iooooooo, celui de10, &c. On a donc par ce moïen les Loga-rithmes de tous les nombres de la propor-tion géométrique décuple. Reste à trouverles Logarithmes des nombres interposés &relie est à cette fin l’opération.

Prenons, par exemple, le Logarithme de2. Puifqu'on a déja les Logarithmes de i& de 10, si i étoit m oie n proportionnelentre i 8 c io , il seroit bien aile de trou-ver son Logarithme *, car ce seroit la moitiédu Logarithme entre i & io. Mais commeni 2 , ni aucun autre nombre n’est moïenproportionnel entre i & io, on multipliei & io par un aussi grand nombre de zerosqu’on a donné a u Logarithme de io, & àces deux nombres ainsi multipliés , on cher-che un moïen proportionnel. Si ce moïenproportionnel étoit trouvé 20000000, il estévident que son Logarithme seroit celui de2, les nombres r, 2, & 10, aïant toujoursla même proportion étant multipliés parun nombre égal de zeros. Par malheur lenombre qui vient est plus grand que20000000. Il faut donc chercher encore en-tre ce dernier nombre & 1 , un moïenproportionnel quiapprocheplus de 20000000que le premier qu'on a trouvé. Et comme20000000 ne se trouve pas tout-à-fait, &que le nombre trouvé vient plus appro-chant qu’à la premiere opération, on pro-cédé à une troisième, pour approcher davan-tage, à une quatrième, aune cinquième,&c.jusques à ce qu’enfin 20000000 vienne unmoïen proportionnel entre deux nombresqui soient entre 1 & 10 multipliés par 72eros. D’où l'on voir que ce n’est point iciun petit travail. Il n’est pas cependant en-tieremcnt perdu. A chaque fois qu’on a euun nouveau moïen proportionnel , on atrouvé un Logarithme par la méthode que

L ai expliquée ci-devant, & les deux notai-res entre lesquels 20000000 est moïen pro-portionnel, aïant été aussi moïen propor-tionnel dans d’autres opérations, on a euleurs Logarithmes qui donnent aussi tôt ce-lui de 20000000 qui est aussi le Logarith-me de 2.

C’est ainsi qu’on trouve le Logarithme deZ. Après quoi il est très-facile d’avoir celuides autres nombres. Car le Logarithme de 4n’est que le Logarithme de 2 doublé ; celui de5 le Logarithme de 10, dont on ôte celui

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de 2. Le Logarithme de 6 est formé de cenxde 2 Sc de 3 ajoutés ensemble ; celui de 8de ceux de 2 & de 4 , ou de celui de 2triplé, & celui de 9 est celui de ; doublé.Entre 1 & 10 il ne reste donc plus que leLogarithme du nombre 7 à trouver par lavoie longue & pénible des moïens propor-tionnels. Les nombres 1, z, 7 font ainsi lesseuls dont il faille chercher les Logarithmes ,puisque les Logarithmes de tous les nom-bres composés le forment par l’addition desLogarithmes des nombres dont Us font leproduit.

Voilà comment on construit des Tablesdes Logarithmes de tous les nombres, selonleur fuite naturelle 1 , 2, 3 , &c. & l’onpoulie ces tables aussi loin que l’on veut.Elles servent à faire des multiplications , &cdes divisions pour quelques nombres que cesoit par des additions & des soustractions.On opéré à cette fin fur les Logarithmes aalieu d’operer fur les nombres mêmes, 8 cles Logarithmes qui viennent donnent dansla table le nombre dont on a besoin.

Les Logarithmes sont toujours de grandsnombres , pour deux raisons. La premiere ,parce qu’on peut négliger par ce moïen lesfractions qui se présentent souvent quandon prend la moitié, ou le tiers, &c. desLogarithmes. La seconde raison, est qu’onapproche de plus près par de grands nom-bres d’une infinité de racines sourdes qu’ontrouve en construisant les tables, & quidoivent être rationelles.

2. Juíques-là toutes les opérations des Loga-rithmes font bien longues & bien pénibles,& d’autant plus ennuieuses qu’on n’a aucunterme , aucune réglé fixe qui les dirige , lesGéomètres, qui ne reçoivent jamais qu’avecpeine de pareilles voies, ont cherché long-tems une formule génerale propre à faireévanouir cette routine-, & cette formule estcelle-ci.

On a vû que les Logarithmes font desnombres en proportion arithmétique , telle-ment appropriés artx nombres naturels , quesi deux nombres naturels quelconques fontmultipliés ou divisés l’un par l’autre , lesLogarithmes de ces nombres naturels étantajoutés ou soustraits, donnent dans leursomme ou leur différence le Logarithme duproduit ou du quotient de ces deux nombresnaturels. Maintenant appelions y la diffé-rence entre l’unité & un nombre quelcon-que plus grand que 1 unité ; alors le Loga-rithme du nombre 1 -I- y fera — y —2 Y ’

■+■ ; y 3 — i y* ■+■ T y 5 êce. ht si y est

un nombre plus petit que 1 unité , le Lo-garithme de i— j, nombre moindre que