DU TROISIÈME LIVRE, 19s

en raison sous-doublée cìu carré de h D an carré dc B F; donc A F. : B K

A I) : B F. Le problème est donc maintenant réduit à trouver dans le ceroedonné un point Ë, d’où tirant EA, Klìj ces deux lignes sc-yent dans la raisondonnée entre Ab, B F. Or cela est facile au moyen de ce qu’on a démontreci-dessus.

Car il n’y a qu'à diviser AB en G, de sorte que AG soit à GB, commeA D à B F; faire avec A D et 11F le tr angle A O B ; du point O ainsi trouvétirer la 'ligne O G , et lui élever sur son milieu une perpendiculaire qui ren-contrera A B prolongte en C : ce point sera le centre d’un cercle qui, tracepar G , coupera le cercle en deux points E et e qui donneront les deux solu-tions du problème; ce dont la démonstration est facile.

On pourroit encore proposer le problème de cette manière ; les trois pointsA , B , C , étant Jur une même ligne , faire enforte que la ligne qui jointles points d’intersection H , 1 , pajje par le 3* C. Le problème nen acquieit pasun grand degré de difficulté de plus, et l’on en trouve dans Fappus l’analysesuivante ( V. fig. i£. )

Que la chose sot faite, c’est-à-dire, que la Egne HI passe par le point C.Par H soit tirée H K parallèle à A C, et par K et I la li^ne KIL. Mainte-nant on aura i’angle HKI égal à H E I. Mais l’angle HKiL est à cause desparallèles II K, A C, égal à l’angle K L C. Or les angles K L C , K LA sontensemble égaux à deux droits, conséquemment les angles KLA, A £ I sontauísi égaux à deux droits, et dans le quadrilatère AEIL, la somme desangles opposés est égale à deux droits; ainsi ce quadrilatère est inscriptible àun cercle. On aura donc le rectangle BI par EB égal à celui d.e B A parB L. Or le rectangle de BI par bE est donné à cause du cercle HEKIdonné de position; le point L sera ck nc donné; car B A : B E : : B I : B L.

Le problème | se réduit donc au précédent, savoir à ceci. Les points C et Létant donnés et le cercle H L K L>, trous er le point I, tel que Cl H, LIKétant tirées, la ligne H K soit parallèle àLC. Le point 1 résoudra le picfcícme;ce qui est aisé à démontrer.

Mais si les trois points A, B, C ne sont pas dans la même ligne droite, leproblème sera incomparablement plus difficile. 11 a été néanmoins résolu parM. de Castilhon ( Além. de l’Acad. de Berlin, ann. 1776 ), et dans la foimede la géométrie ancienne. Nous en parlerons au com nier. cernent du troisièmevolume de cet ouvrage, ain,si que de la sclation de M. de la Grange.

Nous nous bornerons à ces exemples de l’analyse ancienne. Ceux qui vou-dront s’en instruire plus profondément, doivent recourir aux collectiones mathe-mhticae de Fappus d’Alexandrie, qui en fait presque un continuel usage; oubien au livre de sectione rationis d’Apollonius , restitué par M. Hallevou à celui de inclinationilus du mime géomètre, rétabli par le savantM. Horsley , ou enfin à divers autres que nous aurons occasion de citer parla suite.

NOTE B.

Les Propriétés principales des Sections coniques.

1 TION I. On appelle diamètre dans une "section conique,qui divise en deux parties égaes deux parallèles quelconques tirées

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dans cette courbe; telle esc i\ liçne ST eu c&ard aux parallèles PO, p o

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