DU TROISIÈME LIVRE. . i 99

portionnelle à C S et CT, soit dans l’elïîpse , soit cans l'hypcrfcole, ce serace qu’on nomme le paramétré du diamètre S s, c’est-à-dire, le module quimesurer i le r ;pporc du carré d’une demi-ordonnée quelconque au rectangle deses abscisses correspondantes.

Ma s comme, dans la parabole , tes diamètres ne sont terminés que d’un côte , onaura ce paramètre en cherchant une troisième proportionnelle à une abscisse quel-conque h R, et sa demi-ordonnée R P.

Les anciens donnoient à ce module le hem de latits rectum , jjarce qu’ilsavoienc coutume de le dresser parallèlement anx ordonnées, à l’extrémité dudiamètre auquel il appartenoít. Cela entendu, on démontre;

fi. Que dans la parabole- le carré d’une demi-ordonnée quelconque, est égaleau rectangle de l’abscisse par le paramètre.

Que dans l’ellipse ce carré est toujours plus petit, et dans l’hyperfcole tou-jours plus grand que le rectangle de l’abscisse par le paramètre.

Ce sont là les propriétés qui ont fait donner à ces courbes los noms qu’ellesportent ; car parabole signifie égalité ; ellipse , défaut ; et hyperbole , excès , ouredondance.

'8°. En général, dans toute section conique, le carré de l’ordonnée est égal aurectangle de l’abscisse par le paramétre, plus dans l’ellipse, et moins dans l’hy-perbole , un certain rectangle que les anciens déterminoient et appeloient sem-blable et semblablement posé à la figure du diamètre ; rectangle qui, dans laparabole devenoit nul ; ce qui déterminoit l’égalité du carré de son ordonnéeavec le rectangle de son abscisse par le paramètre.

Péfin'. V. Dans toute section conique le point de l’axe F {fig. 28 , 29,30), où la demi-ordonnée est égale au demi-paramètre, est un point remar-quable par des propriétés particulières. Les anciens le nommoient punctum com-parationis. Les modernes le nomment foyer par les raisons qu’on verra.

9 0 . Dans la parabole, le foyer est éloigné du sommet de l’axe, du quartdu paramètre.

Dans l’ellipse, il y en a un vers chaque extrémité du grand axe, et sa dis-tance au centre F C ou f C est telle que le carré de C F, ou C f, est égal à ladifférence des carrés de C S et C T.

Dans l’hyperbole, c’est la somme de ces carrés qui détermine ces foyers ,c’est-à-dire, qué si l’on prend C F ou C f, telle que son carré soit égal à lasomme de ceux des deux demi-axes conjugués C S, CT, ce sera la distancedu îoyer F 011 f de l’hyperbole à son centre.

Ainsi dans l’EUiplè en tirant T F ou T f , elle est égale au demi-axe, etdans l’hyperboie, au contraire, en tirant T 8 ou T s elle sera égale à C F ou

ÇA

10 0 . Dans l’hyperbole {fig- 3 o) la tangente en un point G partage en deuxégalement l’angle formé par les deux lignes FG, G /, tirées du point de con-tact aux deux foyers.

Mais dans l’ellipse {fig- 29) cette tangente partage en deux également l’angleformé par une de ces íjgnes F G , et la prolongation G Ii de l’autre.

Dans la parabole (fig. 28) c’est l’angle formé par la ligne F G tirée dufoyer , et la ligne G h parallèle à l’axe qui est divisé en deux également park tangente en G. Car la parabole n’est qu’une ellipse, dçnt le centre et lesecond foyer sont à une distance plus grande que toute quantité donnée, etconséquemment la ligne G/ allant à l’autre foyer, approche du parallélisme