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NOTE

Du premier Livre de la deuxième Parti z*

Ï—íorsque j’ai dit que les Arabes, et avant eux Diophante , avoient trouvéla résolution des équations du second degré , je n’ai entendu parler que decette résolution en forme analytique, semblable à celle que nous employonsdans notre algèbre ; car il faudroit avoir une idée bien fausse de la géométriedes anciens, 'pour panser que des problèmes qui mènent au second degré, leurfussent inaccessibles. On trouve cette résolution énoncée en d’autres termes ,dans les Elémens même d 'Euclïde, et notamment dans les propositions vingt-sept et vir,gt-huit du sixième livre; propositions qui, par cette raison, ont étémal-à-propos omises par divers éditeurs d’Euclide qui ne les ont pas entendues,et en ont méconnu l'usage. Mais avant de le faire voir, il faut expliquer quel-ques expressions de la géométrie ancienne , que la désuétude de son langage arendu peut-être inintelligibles à nos meilleurs géomètres.

Appliquer à une ligne donnée un rectangle égal à un espace donné, et souscertaines conditions données, c’étoit sur cette ligne, prise pour base, construireun rectangle égal à l’espace donné , et qui remplît ces conditions : ainsi , parexemple, Euelide, dans sa proposition vingt-sept du sixième livre, propose leproblème suivant ; à une ligne donnée, appliquer un parallélogramme égalà un espace donné, et déjicient d’un parallélogramme semblable à unautre', c’est-à-dite , sur une ligne donnée , construire un parallélogrammequi, tronqué d’un autre semblable à un donné , soit égal à un espacedonné : on prenant des rectangles au lieu de ces parallélogrammes, sur uneligne donnée , construire un rectangle qui , tronqué d’un carré de memshauteur, soit égal à un carré donné.

Or cette dernière proposition contient la résolution de l’équation du seconddegré analogue à celle-ci, bx--xx —aa \ car b est ici la ligne donnée, «rla hauteur cherchée du rectangle à construire sur cette ligne,, et x x le carrédont ce rectangle étant tronqué, le restant sera égal à a a. Ce problème estrésolu fort élégamment par Euelide en cette manière.

AB étant la ligne donnée, et A (Jìg- 8t ) la ligne dont le carré est donné,faites, dit Euelide, sur CB moitié de AB, le carré CBDE. Soit ensuiteconstruit dans l’angle CE D, le carré EG égal à l’excès du carré de C B surle carré de A ; parle point G soit tirée la parallèle à la base, H G I, le rec-tangle AI sera le rectangle cherché, c'est-à-dire, que le rectangle AI (b x)tronqué du carré KI (xx) sera égal à l'espace donné (aa) ; et il n’échappapas aux géomètres de ce temps, que pour que le problème fût possible, il falloirque le carré de la moitié de A B excédât le carré donné de A. Aussi cettelimitation est-elle l’objet ds la proposition immédiatement précédente d 'Euelide.En effet dans le largage moderne, cette équation bx — xx — a a, ouartr--bx — a a n’est posssible que lorsque -j- b b excède aa\ car la valeur de x est- b -p. ^ ~ b b ■- a a , et cette expression radicale est impossible lorsque Eb b est moindre que a a.

L’autre cas des équations de second degré b x - f- xx — a a, est résolu par lavingt-huitième du sixième livre, et se trouve sans limitation comme chez nous,quelle que soit la valeur de b.

II est vrai que les aijciens ne paroissent pas avoir j nì dans l’un ni dansFautre cas, reconnu lá seconde valeur qui résulte pour x , de l’un et d®