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il donne des règles pour les cas où 86 trouvent tons les termes,comme aussi pour ceux où manque seulement le troisième, ilest bien vrai que de la manière dont nous résolvons aujcrfir-d’hui les équations, tous ces derniers cas se réduisent auxpremiers enseignés par Tartalea ; mais an temps de Cardancette liaison n’-étoit pas apperçue , et il íalloit de l'adresse etde l’habrieté pour passer de l’un à l’autre. Chaque cas enfin,ou, selon le langage du temps, chaque capitolo, avoit sa règle'particulière , ét c’est sous cette íorme qu’ont été exposées ïesrègles de solution pour le troisième degré jusqu’à Viète.

On doit à Cardan la remarque de la limitation d'un casparticulier des équations cubiques, celui où ii arrive que l’extrac-tion de la racine carrée qui entre dans la formule, n’est paspossible. C’est ce qu’on appelle le cas irréductible , dont ladifficulté a donné et donne encore la torture aux analystes. IIn’a pas lieu dans le premier cas développé plus haut , maisseulement lorsqu’on a — p x ; et cela arrive lorsque ~ pi ,ou le cube du tiers du coefficient qui affecte 1’i.ncomiue aupremier degré , surpasse le carré de la moitié de l’absolu ouq. Car dans l’un de ces derniers cas, par exemple dans celui où

l’on a .r 5 — p x=. q f la valeur de x est ~\/£ q -}- j/~ q q — ~ i p ì

-f 4/~ q — l/i ( l <7.— f? p' 1 - Or il est visible que si ^ p ì estplus grand que •j q q, quantité ~\/-j q q — ~ yA est imagi-naire ou impossible. Le troisième cassr 5 — p x — q , est sujetà la môme difficulté et par la môme raison ; la remarque aureste en étoit bien facile, et il est surprenant que lorsqueCardan la communiqua à Tartalea, celui-ci ait pu la regardercomme une chicane, par laquelle il cherclioit à trouver sesrègles en défaut. 11 étoit bien plus difficile de déterminer ence cas, si la valeur de l’inconnue étoit possible, ainsi déguiséeSOUS une forme imaginaire , qui, dans les équations du seconddegré, désigne une impossibilité absolue5 ct l’on ne doit pass’éfonner que Cardan ait hésité ici. II remarqua cependant deséquations cubiques qui menoient au cas irréductible , et dontil ne laissoit pas de trouver la solution par des méthodes par-ticulières ou par tâtonnement, celle de Tartalea ne pouvantl’y conduire ; incertain , il n’osa prononcer sur les autres. Maisdepuis lui on a remarqué, et qui plus est, démontré, que lecas irréductible, non - seulement ne désigne pas une impos-sibilité dans l’équation, mais qu’il n’a lieu que dans les cas oùelle est possible du plus grand nombre de inanièreá.

Cardan est encore le premier qui ait apperçu la multipli*

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