DES MATHÉMATIQUES. Part. M. Liv. III. %Scité des valeurs Ae l’inconnue dans les équations, et leur dis-tinction en positives et négatives. Cette découverte qui, avecune autre de Viète, est le fondement de toutes celles dllar-riot et de Descartes sur l'analyse des équations, cette décou-verte , dis-je , est clairement contenue dans son Ars Magnri.Dès l’article troisième il observe que la racine d’un carre estégalement plus ou moins le côté de Ce carré , et dans 1 ar-ticle 7 il propose une équation qui, réduite à notre langage,seroit x 1 + 4 x = n , et il remarque fort bien que la valeur

de x , est également -f 3 ou — 7, et qu’en changeant le signedu.second terme, elle devient — 3 ou + 7. Ces racines néga-tives , il les nomme feintes. Cardan redressa en cela Terreur dePaccioli, qui n’ayarìt fait aucune mention de ces racines né-gatives , semble 11e les avoir pas remarquées.

Ce que dit Cardan sur la multiplicité des racines des équa-tions, no se borne pas aux équations carrées. 11 montre aussique les'cubiques sont susceptibles de trois solutions différentes,et il en donne des exemples dans'les articles cinq et six- Hobserve d’abord fort bien que dans toutes les équations de'dé-nominations impaires non affectées, comme x 3 = dr a? ; x'> =± a >, il n’y a qu’nne seule valeur réelle, et que toutes lesautres sont imaginaires. Delà passant aux équations cubiquesdont le second terme est évanoui , il propose l’équation x 1+ 9 = ìa x, et il dit que a; y a trois valeurs, deux posi-tives, savoir 3 et' 5 ~ — x -j, et la troisième feinte ou né-gative , égale aux deux premières ensemble , -"j/ 6 7 — 1 7.

Ces mêmes valeurs sont, selon lui, celles de Téquation x 3 - 12.

x = 9, à cela près, que celles qui étoient positives dans laprécédente, sont feintes dans celle-ci, et au contraire.

Observons cependant, pour ne pas trop accorder à Cardan,-que sa découverte n’est pas parfaitement développée outre*qu il rie dit rien sur l’usage de ces racines négatives, qu’il re-garda probablement comme inutiles, il se trompe à i’égarddes équations qui ont plusieurs racines égales et affectées du

meure signe. Ainsi dans Téquation cubique ad-12 x~ 16,

dont les racines sont — 2, —2, et -j -4 > d n'en compte .quedeux, —— 2 et -j- q; et dans celle-ci x 3 — 16 = 13 ± f jl n ecompte que 2 et — 4 ; ce qu’il fait dans d’autres cas d’éqna-trons plus relevées, on la même chose arrive. Cette erreur aureste étoit fort excusable dans un temps où Ton n’appliquoit1 algèbre qu’à la résolution des problèmes numériques. Carsupposons un problème de ce genre, qui eût conduit à la1 sidère des équations ci-dessus ; que pouvoit faire un ana-yste.qui auroit remarqué qu’elle donnoit 2 deux fois, et—4-

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