DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Liv. II.fondée sur les mêmes principes , et n’en diffère que dans lesmoyens de parvenir à l’équation finale. Ainsi , tout ce qu'ona dit sur celle-là doit s’appliquer à celle-ch

La méthode qú’on vient d’exposer s'applique aussi à la dé-termination des points d’inflexion, et autres cas où il s’agitde déterminer l’équation à contenir plus de deux racines égales ;car pour les trouver , par exemple , s’il y en a trois , commedans le cas des points d’inflcxion, il faudra d’abord multiplierl’équation de la courbe ordonnée, comme on l’a dit, par uneprogression arithmétique ad lìlntum , ensuite l’équation résul-tante par une progression arithmétique , soit la même , soitune autre , ou ce qui revient au même , il faudra prendre deuxprogressions arithmétiques , les multiplier terme par terme , etse servir des termes en résultant , pour multiplier les termesde l’équation donnée : celle qui en naîtra contiendra l’une destrois racines égales. Il est aisé de voir ce qu’il conviendroit defaire si quelque problème conduisoit à une équation qui dûtcontenir quatre racines égales, comme il arrive dans la théoriedes courbes, où il y a des points dont la recherche conduità de pareilles équations. Nous ne pouvons entrer dans de plusgrands détails sur ce sujet ; nous nous contenterons d’indiquerdes livres où il est plus développé, comme le Commentaire duP. Rabuel, et Y Analyse des infiniment petits , où l’on trouvela comparaison de la règle de Hudde , avec celle du calculdifférentiel.

Huygens et Sluse prirent une autre route que Hudde , et«'attachèrent à s’implifìer les procédés de la règle de fermât.Reprenons cette règle , et examinons ce qui se passe dans lesopérations qu'elle prescrit. Nous allons voir naître les abrégésde calcul que ces deux géomètres ont remarqués. Qu’on aitcette expression x ì ~ax 3 où il faut déterminer la valeur de m,quand cette expression est la plus grande ; suivant la règle deFermât , il faut augmenter ou diminuer la valeur de x d'nnequantité indéterminée e, en sorte que x devienne x + e ; en-suite dans l'expression donnée x ì — ax 1 , substituer au lieu dex' et m’, les mêmes puissances de xzdze ; supprimer tous lestermes communs aux deux expressions, et ceux où e est au-dessus du premier degré ; diviser ensuite par e , il en résulteraune équation qui donnera la valeur cherchée de x. En suivantce procédé dans l’exempleproposé, nous aurons d'abord x ! — ax 3 ,

changée en x^-\- 'òex 3 -\- òe 3 x-\-e^ ax 3 — òaex—aee , dont

otant les termes communs , ils se réduiront à òex 3 ■—- àe 3 x+ el —-2 aex — aee, dont il faut encore supprimer tous lestermes où e est au-dessus d u premier degré , et diviser ensuitepar e , on aura enfin ’òx — ast = o , ou tu = y a , comme on